Livello Fermi

Il livello Fermi che prende il nome dal fisico italiano Enrico Fermi, è il più alto livello energetico che un elettrone può occupare alla temperatura di 0 K corrispondente allo zero assoluto e si trova tra la banda di conduzione e la banda di valenza in quanto gli elettroni a quella temperatura si trovano tutti nello stato energetico più basso.

Quanto più il livello Fermi è vicino all’energia della banda di conduzione tanto più facile è per gli elettroni nella banda di valenza passare alla banda di conduzione. Il concetto di livello Fermi deriva dalla statistica di Fermi-Dirac che è una distribuzione statistica dei fermioni negli stati di energia per un sistema in equilibrio termico che rappresenta l’interpretazione quantistica della distribuzione classica di Maxwell-Boltzmann.

Gli elettroni sono fermioni ovvero particelle subatomiche che seguono la statistica di Fermi-Dirac e di conseguenza hanno spin semintero, e, per il principio di esclusione di Pauli, non possono esistere in stati energetici identici. Quindi allo zero assoluto si impacchettano negli stati energetici più bassi disponibili e creano un “mare di Fermi” di stati energetici degli elettroni. Il livello Fermi è la superficie di quel mare allo zero assoluto in cui nessun elettrone avrà abbastanza energia per oltrepassare la superficie

Distribuzione di Fermi-Dirac

Unitamente ai protoni e neutroni, gli elettroni sono dei fermioni che, oltre alla carica e massa, sono dotati di spin e pertanto si comportano come se avessero un momento angolare intrinseco e ogni elettrone ha un piccolo dipolo magnetico. Il numero quantico di spin è la proiezione lungo un asse arbitrario e assume due valori possibili + ½ e – ½  che definiscono il movimento di rotazione degli elettroni intorno al proprio asse in senso orario e antiorario.

Secondo il principio di esclusione di Pauli formulato nel 1925 in un atomo non possono esistere elettroni che abbiano gli stessi numeri quantici. Questo vincolo sul comportamento di un sistema di molti fermioni consente una trattazione statistica in cui gli elettroni sono distribuiti nei livelli energetici disponibili secondo la distribuzione di Fermi-Dirac:

dove E_f, detta energia di Fermi è la probabilità di occupazione di uno stato di energia, T è la temperatura assoluta e k è la costante di Boltzmann pari a 1.38 ·10^-23 J/K. Questa funzione fornisce la probabilità f_f(E) di un elettrone di occupare uno stato con energia E. Il significato dell’energia di Fermi è facilmente interpretabile quando T = 0

Allo zero assoluto, la probabilità è infatti pari a 1 per energie inferiori all’energia di Fermi e zero per energie superiori all’energia di Fermi. Se si immaginano tutti i livelli fino all’energia di Fermi come pieni, nessuna particella ha un’energia maggiore e ciò è del tutto coerente con il principio di esclusione di Pauli, in cui ogni stato quantico può avere una e solo una particella.

Semiconduttori e livello Fermi

Il livello di Fermi è particolarmente importante nei metalli in cui se viene applicato un campo elettrico, gli elettroni vengono accelerati e trasportano la corrente risultante. Il valore della funzione di distribuzione dovrà essere diverso da zero nella banda di conduzione affinché la conduttività elettrica sia possibile. Per i solidi, la probabilità di occupazione con il livello di energia determina la facilità di conduttività  e determina se un materiale è un isolante, un semiconduttore o un conduttore.

Diversi orbitali hanno diverse energie corrispondenti. Gli orbitali a più bassa energia formano una banda chiamata banda degli elettroni di valenza, e gli orbitali a più alta energia formano una banda chiamata banda di conduzione.

Tra la banda di valenza e quella di conduzione vi è un gap energetico. Il band gap è l’energia minima necessaria per eccitare un elettrone dalla banda di valenza fino alla banda di conduzione. Il valore associato al band gap detto anche banda proibita è caratteristico della specie e permette di visualizzare la differenza tra conduttori, semiconduttori e isolanti.

Nei conduttori, la banda di conduzione e la banda di valenza si sovrappongono e ciò significa che gli elettroni nella banda di valenza si muovono liberamente nella banda di conduzione essendo l’energia della banda pari a zero. Per i semiconduttori il band gap ha un valore compreso tra 0.1 e 3.0 eV mentre negli isolanti questo valore è superiore a 3.0.

Al livello di Fermi ovvero quando E = E_f , la probabilità si semplifica a ½ e quindi E_f  si trova a metà strada tra la banda di valenza e quella di conduzione, o nel mezzo del gap energetico ( E_gap /2). Per gli isolanti, il gap energetico è sufficientemente ampio da far sì che il livello Fermi si trovi lontano dalla banda di conduzione o dagli stati che possono trasportare corrente. Il contrario è vero per i conduttori in cui il livello Fermi si trova all’interno di una banda o di stati vicini che trasportano facilmente corrente.

Drogaggio dei semiconduttori

Le proprietà elettroniche e ottiche dei materiali semiconduttori sono fortemente influenzate dalle impurità, che possono essere aggiunte in quantità precisamente controllate. Tali impurità vengono utilizzate per variare le conduttività dei semiconduttori e persino per alterare la natura dei processi di conduzione dalla conduzione mediante portatori di carica negativa alla conduzione o mediante portatori di carica positiva costituiti dalle cosiddette lacune.

Quando le impurità sono introdotte in un cristallo altrimenti perfetto, sono creati livelli aggiuntivi nella struttura a bande energetiche, solitamente all’interno del gap di banda tramite un processo denominato drogaggio.

Il drogaggio dei semiconduttori modifica l’occupazione degli stati nelle bande di conduzione e di valenza e progettando attentamente il processo di drogaggio, i cristalli semiconduttori possono essere modificati in uno dei due tipi distinti di semiconduttori di tipo n o di tipo p. In entrambi i tipi di semiconduttori, la posizione del livello Fermi rispetto alla struttura a bande può essere controllata in modo significativo tramite drogaggio.

L’introduzione di impurità negli atomi porterà il livello Fermi in alto e quando viene portato abbastanza in alto, parte della coda passerà alla banda di conduzione. Ciò rende più facile per gli elettroni viaggiare verso la banda di conduzione e quindi la conduttività migliora. Dalla funzione di distribuzione, la temperatura influenza direttamente il modo in cui gli stati energetici sono occupati. La coda della funzione diventa anche più lunga e larga a temperature più elevate, estendendosi fino alla banda di conduzione.

Pertanto l’effetto delle impurità e delle temperature più elevate sulla conduttività può essere visualizzato dal gap di banda e da uno spostamento relativo del livello Fermi nel diagramma di banda. Questo spostamento del livello Fermi consente agli elettroni di raggiungere la banda di conduzione e determina la facilità con cui i materiali conducono l’elettricità.

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