Processo isobaro: lavoro, grafici, esercizi

Un processo isobaro è un processo termodinamico in cui la pressione del sistema termodinamico rimane costante nel tempo . Il  processo isobaro segue la legge di Charles secondo cui se la pressione è costante, il volume è direttamente proporzionale alla temperatura. Consideriamo un cilindro  munito di pistone libero di scorrere senza attriti contente un gas ideale e supponiamo di riscaldare il cilindro. Il pistone inizierà a muoversi contro la pressione esterna compiendo un lavoro.

Essendo costante la pressione,  un diagramma pV  per un processo isobaro si presenta come in figura:

in cui si può notare che il volume varia mentre la pressione rimane costante.

Secondo l’equazione di stato dei gas ideali pV = nRT se p rimane costante e aumenta V allora deve aumentare anche il termine nRT: tuttavia essendo n e R costanti, si deduce che deve aumentare T. Pertanto in un processo isobaro all’aumentare del volume aumenta la temperatura.

Lavoro in un processo isobaro

Il lavoro fatto dal sistema è:
W = Fd

Essendo d lo spostamento del pistone. Dividendo e moltiplicando per l’area si ha:

W = (F/A) dA

Ma, per definizione, F/A = p e dA = Volume

Pertanto:

W = pV

Considerando che il volume varia da V₁ a V₂ si ha: V₂ – V₁ = ΔV

Quindi il lavoro in un processo isobaro è : W = pΔV

Si noti che la pressione che è coinvolta nell’espressione del lavoro che è stata chiamata p è la pressione del gas all’interno del cilindro. Se chiamiamo p_est la pressione all’esterno del cilindro il gas che si espande compie un lavoro contro la pressione esterna e quindi il lavoro è dato da:

W = – p_estΔV

La figura

è relativa  a un diagramma pV di un processo isobaro. Il lavoro fatto dal sistema corrisponde all’area sottostante il grafico. Tale proprietà dei diagrammi pV consente un rapido calcolo del lavoro effettuato:

il lavoro fatto da o su un sistema che va da uno stato all’altro corrisponde all’area sottostante la curva su un diagramma pV.

Il lavoro non è una funzione di stato pertanto esso dipende dal percorso e non solo dal punto iniziale e finale.

Si consideri un processo più generale in cui varia sia la pressione che il volume. La misura dell’area sottostante la curva può essere approssimata suddividendo la superficie in tanti piccoli rettangoli per ognuno dei quali si può supporre costante la pressione detta p_i. Il lavoro fatto è W_i = p_iΔV_i per ogni rettangolo e il lavoro complessivo è dato dalla somma delle superfici di tutti i rettangoli.

Se il cammino è invertito ovvero non si va da A a B ma da B ad A allora il lavoro è fatto sul sistema (ΔV < 0) e quindi assume segno negativo e, in tal caso, l’area sotto la curva è negativa.

Consideriamo ora un processo in cui si va da A a C tramite il percorso A→B→C e il percorso A→D→C. Entrambi i processi partono da A e arrivano a C seguendo due percorsi diversi; si noti che le linee verticali dove il volume è costante sono dette isocore e, poiché non il volume è costante, ovvero ΔV = 0 non viene compiuto alcun lavoro.

Se il sistema segue il percorso ciclico ABCDA allora il lavoro totale fatto corrisponde all’area interna del rettangolo.

Esercizi

1)      Se p_A = 1.5 ∙ 10⁶ Pa e p_D = 2.0 ∙ 10⁵ Pa e ΔV = 500 cm³ calcolare:

a)       il lavoro fatto nel processo ciclico ABCDA

b)      l’area del rettangolo ABCD

a)       Lungo il segmento AB il lavoro è dato da:

W_AB = 1.5 ∙ 10⁶ N/m² ∙ 5 ∙ 10^-4 m³ = 750 N∙m = 750 J

Lungo il segmento BC poiché ΔV_BC = 0 allora W_BC = 0

Lungo il segmento CD il lavoro è negativo in quanto decresce ed è pari a:

W_CD = 2.0 ∙ 10⁵ N/m² (- 5 ∙ 10^-4 m³) = – 100 N∙m = -100 J

Lungo il segmento DA poiché ΔV_DA = 0 allora W_DA = 0

Il lavoro totale è dato dalla somma del lavoro su tutti i segmenti:
W = 750 – 100 = 650 J

b)      L’area del rettangolo è data dal prodotto base x altezza pertanto:

A = (p_AB – p_CD)ΔV = (1.5 ∙ 10⁶ – 2.0 ∙ 10⁵) 5 ∙ 10^-4 m³=  650 J

Come si può vedere i risultati coincidono e spesso è più facile calcolare il lavoro tramite l’area del rettangolo che calcolando il lavoro fatto in ciascun segmento.

2)      Un gas contenuto in un cilindro ha una pressione di 1.5 atm e un volume di 4.0 m³. Calcolare il lavoro fatto dal gas se:

a)       Si espande a pressione costante a un volume pari a due volte il volume iniziale

b)      Se viene compresso a un volume pari a un quarto del suo valore iniziale

a)       W = pΔV

ΔV = 2 V₁ – V₁ = V₁

Dalla conversione tra atm e Pa si ha:

1.5 atm = 1.5 atm ∙ 101325 Pa/atm = 1.52 ∙ 10⁵ Pa

Pertanto W =  1.52 ∙ 10⁵ Pa ∙ 4.0 = 6.1 ∙ 10⁵ J

b)      ΔV = ¼ V₁ – V₁ = -3/4 V₁

W = (-3/4 V₁) 1.52 ∙ 10⁵ = [-3/4 (4.0)] 1.52 ∙ 10⁵ = – 4.5 ∙ 10⁵ J