Il ciclo di Carnot è un ciclo semplice, simmetrico e reversibile caratterizzato da due trasformazioni isoterme reversibili : l’una a temperatura T1 e l’altra a temperatura T2 con( T1 › T2) e due trasformazioni adiabatiche.
Trasformazioni
Schematizziamo le quattro trasformazioni:
1) Espansione isoterma e reversibile del gas dallo stato A allo stato B alla temperatura costante T1. Il gas , che nello stato A occupa un volume V1 alla pressione p1 viene fatto espandere isotermicamente e reversibilmente fino a occupare un volume V2 alla pressione p2
2) Espansione adiabatica e reversibile dal gas dallo stato B allo stato C . Il gas dal volume V2 e pressione p2 viene fatto espandere senza scambi di calore con l’esterno fino ad occupare un volume V3 a pressione p3
3) Compressione isoterma reversibile del gas dallo stato C a quello D alla temperatura costante T2 in cui il gas viene compresso dal volume V3 e pressione p3 fino al volume V4 e pressione p4
4) Compressione adiabatica e reversibile del gas dallo stato D a quello di partenza A in cui il gas viene compresso dal volume V4 e pressione p4 al volume iniziale V1 e pressione iniziale p1 . In questa trasformazione il gas riceve calore dall’esterno e aumenta la propria energia interna e la sua temperatura passa dal valore T2 a quello maggiore T1.
Rendimento
Il rendimento del ciclo espresso da :
η = Q1 + Q2/ Q1
dipende dal calore scambiato dal sistema alle due sorgenti , e per calcolarlo è sufficiente prendere in esame gli scambi termici effettuati nelle due trasformazioni isoterme, essendo nullo quello effettuato nelle due adiabatiche.
Se il sistema è una mole di gas perfetto, in una trasformazione isoterma la variazione di energia interna ΔU = 0 e quindi il calore scambiato si identifica con il lavoro Q = L
Quindi è possibile applicare l’equazione L = RT ln V2/ V1 che con la conseguente simboleggiatura diviene :
Q1 = Q A-B = L A-B = RT1 ln V2/ V1
Q2 = Q C-D = L C-D = RT2 ln V4/ V3
Sostituendo tali relazioni nell’espressione del rendimento e, tenendo conto che
RT2 ln V4/V3 = – RT2 ln V3/ V4 si ha :
η = RT1 ln V2/V1 – RT2 ln V3/V4/ RT1 ln V2/ V1 ovvero semplificando tenendo conto che per un ciclo simmetrico è valida la relazione V2/V1 = V3/V4 si ha :
η = 1 – T2/ T1
se ne conclude :
1) il rendimento termodinamico di una macchina termica che realizza un ciclo reversibile di Carnot, dipende solo dalle temperature delle due sorgenti
2) il rendimento è tanto maggiore quanto maggiore è la differenza di temperatura delle due sorgenti
3) essendo T2< T1 il rendimento di una macchina termica è sempre minore di 1.
Poiché il rendimento può essere espresso sia dalla equazione
η = 1 + Q2/ Q1 che dall’equazione η= 1 – T2/T1
uguagliando le due espressioni si ha :
1 + Q2/ Q1 = 1 – T2/T1
Da cui Q2/Q1 = – T2/T1
E cioè
Q2/T2 = – Q1 /T1
E infine :
Q2/T2 + Q1/T1=0
Uguaglianza di Clausius
Da tale relazione nota come uguaglianza di Clausius si deduce che in un ciclo la somma algebrica dei rapporti degli scambi termici effettuati dal sistema alle due sorgenti è uguale a zero.
Prendendo in esame un qualunque ciclo composto caratterizzato da più di due scambi termici e suddividendo tale ciclo in un certo numero di cicli di Carnot si può dimostrare che la superficie totale ottenuta dalla somma di tutti i cicli parziali di Carnot è equivalente a quella ricoperta da tutto il ciclo composto originale.
Applicando l’uguaglianza di Clausius ad ogni ciclo di Carnot in cui è stato suddiviso il ciclo composto originale si ha : Q1/T1 + Q2/T2=0 ; Q3/T3 = Q4/T4=0 ……. Qn-1 /Tn-1 = Qn/Tn=0
Sommando tutti i termini di cui sopra
∑ Qi (rev)/Ti =0
Considerando scambi di calore infinitesimi si ha dQi(rev) / Ti =0
Posto dQrev/T = dS
Si ha ΔS =0
Tale grandezza è una funzione di stato chiamata entropia la cui unità di misura è cal/mol K
Esercizi sul ciclo di Carnot
1) Una macchina termica lavora prelevando calore da una sorgente superiore posta alla temperatura di 127 °C e cede il calore non utilizzato a una sorgente inferiore posta alla temperatura di 27 °C. Calcolare la quantità di calore che deve essere prelevata dalla sorgente superiore affinché la macchina fornisca il lavoro di 500 J.
Convertiamo i gradi Centigradi in gradi Kelvin :
T1 = 400 K ; T2= 300 K
Applicando la relazione :
η = 1 – T2/T1 e sostituendo i valori si ottiene η= 1 – 300/400 = 0.25 e poiché il rendimento è la frazione di calore trasformata in lavoro si ha :
500/ Q1= 0.25
Da cui Q1 = 2000 J
2) 180 g di vapore acqueo alla temperatura di 127 °C sono fatti espandere isotermicamente dalla pressione di 760 mm Hg a quella di 630 mm Hg. Calcolare la variazione di entropia quando il processo avviene reversibilmente. Calcolare inoltre il calore scambiato.
Moli di vapore acqueo = 180 g/ 18 g/mol = 10
ΔS = nRT ln p1/ p2
Sostituendo i dati ΔS = 10 · 1.98 · 2.3 log 760/630 = 3.64 unità entropiche
Il calore scambiato si calcola applicando la relazione ΔS = Qrev/ T
Qrev = TΔS = 400 · 3.64 = 1460 cal