Quando trascurare la x nei problemi sull’equilibrio

Nella risoluzione di problemi sull’equilibrio equilibrio spesso si trascurano alcuni termini sia additivi che sottrattivi onde evitare lunghi quanto inutili calcoli. Saranno esaminati problemi sull’equilibrio per vedere se e quando tali approssimazioni possono essere fatte.

Problemi sull’equilibrio

-Si consideri la reazione di decomposizione del triossido di zolfo in biossido di zolfo e ossigeno molecolare:

2 SO_3(g) ⇄ 2 SO_2(g) + O_2(g)

La costante di equilibrio K_c vale 1.6 ∙ 10^-10 a 300 °C. Sia dato di calcolare le concentrazioni delle specie all’equilibrio quando la concentrazione iniziale di SO₃ è 0.100 M.

Si ci avvale di una I.C.E. chart:

L’espressione della costante di equilibrio è:
K_c = 1.6 ∙ 10^-10 = [SO₂]²[O₂]/[ SO₃]²

Sostituiamo i valori ricavati nella I.C.E. chart:

K_c = 1.6 ∙ 10^-10 = (2x)²(x) / (0.100 – 2x)² = 4x³ / 0.0100 + 4x² – 0.4 x

Da cui 1.6 ∙ 10^-12 + 6.4 ∙ 10^-10 x² – 6.4 ∙ 10^-11 x = 4 x³

Riordinando:

4 x³ – 6.4 ∙ 10^-10 x² + 6.4 ∙ 10^-11 x – 1.6 ∙ 10^-12 = 0

Come si può notare risulta particolarmente difficile risolvere un’equazione cubica di tal genere pertanto si fa uso di approssimazioni che non ne inficiano il risultato. In questo caso si può trascurare il termine 2x sottrattivo al denominatore.

Non si incorra nell’errore di dire che x sia uguale a zero: ciò comporterebbe che tutte le incognite sarebbero uguali a zero. L’assunzione riguarda il solo termine 2x rispetto a 0.100 ovvero si assume:

0.100 – 2x ≈ 0.100

In prima analisi possiamo ritenere che questa assunzione sia possibile in quanto il valore molto piccolo della K_c ci induce a ritenere che una piccola quantità di SO₃ si dissoci e tale quantità può essere considerata trascurabile rispetto a 0.100.

Da questa assunzione l’espressione diviene:

K_c = 1.6 ∙ 10^-10 = (2x)²(x) / (0.100)² = 4x³/ 0.0100

Da cui moltiplicando ambo i membri per 0.0100 si ha:

1.6 ∙ 10^-12 = 4x³ ovvero dividendo ambo i membri per 4 si ha:

4.0 ∙ 10^-13 = x³

Pertanto x = ∛4.0 ∙ 10^-13 = 7.4  ∙ 10^-5

Prima di procedere oltre dobbiamo verificare se si poteva trascurare il termine 2x  rispetto a 0.100. Per fare ciò sostituiamo alla x il valore trovato nell’espressione 0.100 – 2x e calcoliamo il valore dell’espressione:

0.100 – 2 (7.4  ∙ 10^-5) ≈ 0.100

Ciò implica che l’assunzione era corretta quindi possiamo procedere alla soluzione del problema:

2x = 2 (7.4  ∙ 10^-5) = 1.5 ∙ 10^-4 = [SO₂]

x = 7.4  ∙ 10^-5= [O₂]

0.100 – 2 (7.4  ∙ 10^-5) = 0.100 = [SO₃]

Possiamo verificare la bontà del risultato sostituendo i valori ottenuti nella costante di equilibrio verificandone il valore:

K_c = (1.5 ∙ 10^-4)²(7.4  ∙ 10^-5)/ 0.100 = 1.6 ∙ 10^-10

Essendo verificato anche il valore di K_c si può essere certi che l’assunzione fatta è corretta.

Nel caso esaminato non vi era dubbio che si poteva trascurare 2x rispetto a 0.100 stante il valore piccolo di K_c e il valore relativamente alto della concentrazione di SO₃.

In generale, tuttavia, si deve trovare un metodo oggettivo per sapere se l’ipotesi fatta è possibile. Come regola generale i Chimici assumono che x sia trascurabile purché il termine sottrattivo o additivo è inferiore a 5% rispetto alla concentrazione iniziale della specie. Quindi il modo migliore per decidere se l’ipotesi è valida in un particolare calcolo è quello di provare e poi valutare se risponde alla regola

-Per la reazione tra monossido di azoto e ossigeno a 200°C la costante K_c vale 3∙10⁶. Sia dato di calcolare le concentrazioni delle specie all’equilibrio quando la concentrazione iniziale di NO è 0.100 M e quella di O₂ è 0.050 M. la reazione è:

2 NO_(g)+ O_2(g) ⇄ 2 NO_2(g)

Si ci avvale di una I.C.E. chart:

Sostituiamo i valori ricavati nella I.C.E. chart:

K_c = 3 ∙ 10⁶ = (2x)²/ (0.100-2x)²(0.050 –x)

Dal valore molto alto della costante di equilibrio si desume che l’equilibrio è spostato a destra quindi non può essere trascurato alcun termine sottrattivo. Il modo per risolvere questo problema è quello di considerare, in prima analisi che tutto il monossido di azoto si sia trasformato in biossido di azoto e poi considerare l’equilibrio.

Costruiamo nuovamente una I.C.E. chart con questa assunzione:

Sostituiamo nell’espressione della costante di equilibrio i valori ricavati:

K_c = 3 ∙ 10⁶ = (0.100 -2x)² / (2x)²(x)

A questo punto trascuriamo il termine 2x sottrattivo al numeratore rispetto a 0.100 e otteniamo:

K_c = 3 ∙ 10⁶ = (0.100 )² / (2x)²(x)= 0.0100 / 4x³

Moltiplichiamo ambo i membri per 4x³ e si ha:

1.2 ∙ 10⁷ x³= 0.0100

Dividiamo ambo i membri per 1.2 ∙ 10⁷ e otteniamo:

x³= 8.3 ∙ 10^-10 da cui x = ∛1.2 ∙ 10⁷ = 9.4 ∙ 10^-4

controlliamo se 2x poteva essere trascurato:

2 (9.4 ∙ 10^-4) / 0.100 ∙ 100 = 1.9 %

Tale valore è inferiore al 5% pertanto l’assunzione è legittima. Quindi le concentrazioni delle specie all’equilibrio sono:

[NO₂] = 0.100 – 2x = 0.100 – 2(9.4 ∙ 10^-4) = 0.098 M

[NO] = 2x = 2 (9.4 ∙ 10^-4) = 0.0018 M

[O₂]= x = 9.4 ∙ 10^-4M