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Metodo delle approssimazioni successive- chimicamo

Metodo delle approssimazioni successive

  |   Chimica, Stechiometria

Il metodo delle approssimazioni successive è un metodo matematico che consente di ottenere risultati senza fare molti calcoli o calcoli particolarmente complessi.

In molti casi può capitare che si presenti un’equazione di 2° e ovviamente il metodo più semplice consiste nel risolverla secondo la regola di risoluzione dell’equazione. Tuttavia sia nel caso di equazioni di 2° che nel caso di equazioni di 3° ci si può avvalere del metodo delle approssimazioni successive in cui la soluzione può essere ottenuta per iterazioni.

Esempi

1)Calcolare il pH di una soluzione 0.010 M di HF (Ka = 7.2 ∙ 10-4)

Costruiamo una I.C.E. chart:

HF H+ F
Stato iniziale 0.010 // //
Variazione -x +x +x
All’equilibrio 0.010-x x x

L’espressione della costante di equilibrio è:

Ka = 7.2 ∙ 10-4 = [H+][F]/[HF]

Sostituendo i valori ottenuti dalla I.C.E. chart si ha:

7.2 ∙ 10-4 = (x)(x)/0.010-x

Non potendosi trascurare la x sottrattiva presente al denominatore in quanto la concentrazione iniziale dell’acido è bassa e la Ka è alta la soluzione può essere trovata risolvendo l’equazione di 2°.

Con il metodo delle approssimazioni successive si ammette che la x sottrattiva presente al denominatore sia trascurabile e si risolve l’equazione:

7.2 ∙ 10-4 = x2/0.010

Ovvero

7.2 ∙ 10-6 = x2

Estraendo la radice quadrata e scartando la soluzione negativa si ottiene x = 0.0027

Il valore della x ottenuto si sostituisce al denominatore dell’equazione iniziale:

7.2 ∙ 10-4 = x2/0.010 – 0.0027 = x2/0.0073

Da cui x2 = 5.3 ∙ 10-6

Estraendo la radice quadrata e scartando la soluzione negativa si ottiene x = 0.0023

Il valore della x ottenuto si sostituisce al denominatore dell’equazione iniziale:

7.2 ∙ 10-4 = x2/0.010 – 0.0023 = x2/0.0077

Da cui x2 = 5.5 ∙ 10-6

Estraendo la radice quadrata e scartando la soluzione negativa si ottiene x = 0.0023

Poiché questo valore coincide con quello trovato nella precedente approssimazione si può dire che x = [H+] = 0.0023 e quindi pH = 2.6

Per le equazioni di grado superiore al secondo può presentarsi la possibilità di poter trascurare un termine rendendo l’equazione più facilmente risolvibile.

 

2)Alla temperatura di 298 K la costante Kc relativa all’equilibrio: 2 NH3(g) ⇌ N2(g) + 3 H2(g) vale 2.4 ∙ 10-9. Calcolare la concentrazione delle specie all’equilibrio se la concentrazione iniziale di NH3 è 0.25 M

Costruiamo una I.C.E. chart:

2 NH3 N2 3 H2
Stato iniziale 0.25 // //
Variazione – 2x +x +3 x
All’equilibrio 0.25 -2x x 3 x

L’espressione della costante di equilibrio è:

Kc = 2.4 ∙ 10-9 = [N2][H2]3/[NH3]2

Sostituendo i valori ottenuti dalla I.C.E. chart si ha:

2.4 ∙ 10-9 = (x)(3x)3/(0.25-2x)2 = 27 x4/(0.25-2x)2

Poiché la costante è molto piccola e quindi l’ammoniaca è poco dissociata si può ritenere che 2x sia trascurabile rispetto a 0.25. con questa approssimazione l’equazione diventa:

2.4 ∙ 10-9 = 27 x4/(0.25)2 = 27 x4/0.0625

Da cui x4 = 5.6 ∙ 10-12

Estraendo la radice quarta si ottiene x = 0.0015

Per valutare se l’approssimazione è valida consideriamo la differenza 0.25 – 2x ovvero sostituendo ad x il valore 0.0015 si ha: 0.25 – 2(0.0015) = 0.25 – 0.0030

Poiché 0.0030 differisce di due ordini di grandezza rispetto a 0.25 si può ritenere che l’approssimazione fatta sia corretta.

Vi sono casi in cui non si può trascurare un termine rispetto a un altro e in tal caso ci si può avvalere del metodo delle approssimazioni successive

 

3)Risolvere l’equazione 4x3– 0.800 x2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0

Prima approssimazione: si assume che x sia uguale a zero nei primi due termini quindi

0.0500 x – 0.00060 = 0

Da cui x = 0.012

Seconda approssimazione:

Assumiamo che x = 0.012 nei primi due termini:

4(0.012)3 – 0.800(0.012)2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0

Svolgendo 0.0500 x – 0.00071 = 0

Da cui x = 0.014

Terza approssimazione:

Assumiamo che x = 0.014 nei primi due termini:

4(0.042)3 – 0.800(0.014)2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0

Svolgendo 0.0500 x – 0.00075 = 0

Da cui x = 0.015

Quarta approssimazione:

Assumiamo che x = 0.015 nei primi due termini:

4(0.015)3 – 0.800(0.015)2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0

Svolgendo 0.0500 x – 0.00077 = 0

Da cui x = 0.016

Quinta approssimazione:

Assumiamo che x = 0.016 nei primi due termini:

4(0.016)3 – 0.800(0.016)2 + 0.0500 x – 0.00060 = 0

Svolgendo 0.0500 x – 0.00078 = 0

Da cui x = 0.016

Poiché sia nella quarta che nella quinta approssimazione il risultato è lo stesso non andiamo oltre e quindi la soluzione è x = 0.016

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