Quando si risolve un esercizio sull'equilibrio chimico spesso ci si imbatte nella risoluzione di equazioni di secondo grado.
La loro soluzione può essere evitata facendo delle approssimazioni; ad esempio se si vuole trovare la concentrazione dello ione H+ derivante dalla dissociazione dell'acido acetico (Ka = 1.8 ∙ 10-5) presente in una soluzione 0.10 M sapendo che, all'equilibrio, [H+]=[CH3COO–] = x e [CH3COOH] = 0.10 –x
Sostituendo questi valori nell'espressione della costante di equilibrio si ha:
Ka = 1.8 ∙ 10-5 = [H+][CH3COO–]/[CH3COOH] = (x)(x)/0.10-x
che è un'equazione di 2°.
Tuttavia si può riscontrare che, trascurando la x sottrattiva presente al denominatore, l'equazione si riduce a 1.8 ∙ 10-5 = x2/0.10 . Si ha 1.8 ∙ 10-6 = x2 ovvero di un'equazione di secondo grado mancante del termine di primo grado. Estraendo la radice si ottengono due radici: x1 = 0.0013 e x2 = – 0.0013. Quest'ultima radice va scartata in quanto non può esistere una radice negativa pertanto [H+]= 0.0013 M.
Semplificazioni
In altri casi si può procedere a semplificazioni di tipo matematico. Ad esempio se si vogliono calcolare le concentrazioni delle specie all'equilibrio della reazione H2 + I2 ⇌ 2 HI nell'ipotesi che le concentrazioni iniziali di H2 e di I2 siano entrambe 0.200 M sapendo che Kc alla temperatura a cui avviene la reazione vale 64.0 si procede nella risoluzione sapendo che [H2]=[I2] = 0.200-x e che [HI]= 2x.
Sostituendo questi valori nell'espressione della Kc si ha:
Kc = 64.0 = [HI]2/[H2][I2] = (2x)2/(0.200-x)(0.200-x) = (2x)2/(0.200-x)2
Questa equazione di 2° può essere ricondotta a un'equazione di 1° estraendo la radice da ambo i membri:
8.0 = 2x/0.200-x
Ovvero 1.6 – 8.0x =2x da cui 1.6 = 10 x e quindi x = 0.16
Se si fosse risolta l'equazione di 2° si sarebbero ottenute due radici ovvero x1 =0.16 e x2 = – 0.16, ma, come prima la radice negativa va scartata.
Vi sono poi casi in cui non si può fare a meno di risolvere l'equazione di 2° e, nella maggior parte di essi una delle due radici è negativa e va scartata.
Si presentano anche casi in cui le radici sono entrambe positive quindi bisogna ragionare quale di esse va scartata.
Esercizi
- Per la reazione A + B ⇌ C + D la costante Kc ad una certa temperatura vale 49.0. Calcolare le concentrazioni delle specie all'equilibrio se la concentrazione iniziale di A è 0.300 M e quella di B è 0.100 M.
All'equilibrio: [A] = 0.300-x; [B] = 0.100-x; [C]=[D] = x
Sostituendo questi valori nell'espressione di Kc si ha:
Kc = 49.0 = [C][D]/[A][B] = (x)(x)/ (0.300-x)(0.100-x)
Si deve quindi risolvere l'equazione non potendo fare alcuna approssimazione:
49.0 = x2/ x2 – 0.400x + 0.0300
Moltiplicando ambo i membri per il denominatore si ha:
49 x2 – 19.6 x + 1.47 = x2 ovvero:
48 x2 – 19.6 x + 1.47 = 0
x = 19.6 ±√(-19.6)2 – 4(48)(1.47)/ 96
Si ha: x1 = 0.309 e x2 = 0.0990 che sono entrambe positive.
Tra queste due soluzioni dell'equazione solo una ha un significato fisico infatti la radice 0.309 non può essere presa in considerazione in quanto sia 0.300- 0.309 che 0.100-0.309 sono valori inferiori a zero. Quindi l'unica radice che può essere considerata è 0.0990. Si ha pertanto:
[A] = 0.300-0.0909 = 0.209 M ; [B] = 0.100- 0.0909 = 0.0091 M; [C]=[D] = 0.0909 M
2) Per la reazione COCl2 ⇌ CO + Cl2 la costante Kc ad una certa temperatura vale 0.680. Calcolare le concentrazioni delle specie all'equilibrio se la concentrazione iniziale di CO è 0.500 M e la concentrazione iniziale di Cl2 vale 1.00 M
Essendo presenti, all'inizio della reazione, solo i reagenti la reazione decorre verso sinistra e all'equilibrio:
[CO] = 0.500-x; [Cl2] = 1.00-x; [COCl2] = x
Sostituendo questi valori nell'espressione della costante di equilibrio si ha:
Kc = 0.680 = [CO] [Cl2]/[COCl2] = (0.500-x)(1.00-x)/x
Si deve quindi risolvere l'equazione non potendo fare alcuna approssimazione:
0.680 = x2– 1.5 x+0.5/x
Moltiplicando ambo i membri per x si ha:
0.680 x = x2-1.25 x+0.5
x2– 2.18 x+ 0.5 = 0
x = 2.18 ±√(2.18)2 – 4(0.5)/2
Si ha x1 = 1.92 e x2 = 0.260 che sono entrambe positive.
Tra queste due soluzioni dell'equazione solo una ha un significato fisico infatti la radice 1.92 non può essere presa in considerazione in quanto sia 0.500-1.92 che 1.00-1.92 sono valori inferiori a zero. Quindi l'unica radice che può essere considerata è 0.260.
[CO] = 0.500-0.260 = 0.240 M ; [Cl2] = 1.00-0.260 = 0.740 M; [COCl2] = 0.260 M
