Densità. Esercizi svolti
La densità è una grandezza intensiva espressa dalla relazione: d = m/V. Nel Sistema Internazionale essa si esprime in kg/m3 anche se spesso viene espressa in g/cm3.
Nel caso dei gas, la cui densità varia sensibilmente al variare della pressione e della temperatura, viene spesso espressa in g/L.
Esercizi svolti
1) Un cubo di rame ha massa di 0.630 kg. Calcolare le dimensioni del cubo sapendo che la densità del rame è 8.94 g/cm3
Convertiamo i chilogrammi in grammi:
massa = 0.630 kg = 630 g
essendo d = m/V si ha che V = m/d da cui il volume del cubo di rame è pari a:
V = 630 g/ 8.94 g/cm3 = 70.5 cm3
Poiché il volume di un cubo è dato da V = l3 si ha che l = ∛V = ∛70.5 = 4.13 cm
2) Un cilindro graduato viene riempito con 40.00 mL di un olio minerale. Il cilindro vuoto pesa 124.966 g mentre quando è riempito pesa 159.446 g. in un altro esperimento una biglia metallica avente massa 18.713 g è messa in un cilindro che viene poi portato fino ad un volume di 40.00 mL con l’olio minerale. Tale sistema (biglia + olio) pesa 50.952 g. Determinare la massa della biglia
Innanzi tutto determiniamo la densità dell’olio minerale:
massa dell’olio minerale = 159.446 – 124.966 = 34.480 g
la densità dell’olio minerale è quindi d = 34.480 g/ 40.00 mL = 0.8620 g/mL
calcoliamo quindi il volume dell’olio minerale quando viene messa la biglia nel cilindro:
massa dell’olio = 50.952 – 18.713 = 32.239 g
il volume dell’olio è quindi V = m/d = 32.239 g / 0.8620 g/mL = 37.40 mL
il volume occupato dalla biglia si ottiene sottraendo il volume dell’olio al volume totale:
volume della biglia = 40.00 – 37.40 = 2.60 mL
la densità del metallo è quindi pari a d = 18.713 g/ 2.60 mL = 7.197 g/mL
3) Un cilindro costituito da una lega zinco-rame è lungo 3.05 cm ed ha un diametro di 3.81 cm. Calcolare la massa di tale cilindro sapendo che è costituito dal 67% di rame e dal 33% di zinco. La densità del rame è 8.94 g/cm3 mentre quella dello zinco è di 7.14 g/cm3
Determiniamo il volume del cilindro ricordando che V = πr2h
Il raggio è pari alla metà del diametro quindi r = 3.81/2 = 1.905 cm
Da cui il volume è V = 3.14 ( 1.905)2 ( 3.05) = 34.75 cm3
Determiniamo la massa di rame e zinco se ciascuno di essi fosse al 100%
Massa di rame : m = d ∙ V = 8.94 g/cm3 ∙ 34.75 cm3 = 310.7 g
Massa di zinco: m = d ∙ V = 7.14 g/cm3 ∙ 34.75 cm3 = 248.1 g
Dato che il rame è contenuto in ragione del 67% si ha che la massa di rame è 67 ∙ 310.7/100 = 208.1 g
Lo zinco è contenuto in ragione del 33% pertanto la massa di zinco è 33 ∙ 248.1 /100 = 81.9 g
La massa totale è quindi 290 g
4) Calcolare la lunghezza di un filo di rame avente massa 22.0 g e diametro 0.250 mm. La densità del rame è 8.96 g/cm3
Il volume del filo di rame è ari a V = m/d = 22.0 g / 8.96 g/cm3 = 2.46 cm3
Il raggio del filo di rame è dato da 0.250 mm / 2 =0.125 mm = 0.0125 cm
Poiché il volume del cilindro è dato da V = πr2h
Si ha che h = V / πr2 = 2.46 cm3 / 3.14 ( 0.0125)2 = 5.01 x 103 cm
5) In un contenitore pieno di etanolo ( d = 0.789 g/mL) è messo un oggetto di massa 15.8 g e parte dell’etanolo fuoriesce dal contenitore. Si è trovato che il contenitore con l’oggetto e l’etanolo rimasto pesa 10.5 g in più rispetto a quando è pieno di solo etanolo. Calcolare la densità dell’oggetto
Indichiamo con x la massa dell’etanolo inizialmente presente
La massa del contenitore pieno più l’oggetto è x + 15.8
La massa del contenitore dopo che parte dell’etanolo è fuoriuscito è x + 10.5
La differenza ci dà la massa di etanolo fuoriuscito : ( x + 15.8) – ( x + 10.5) = 5.30 g
Il volume dell’etanolo corrispondente vale V = m/d = 5.30/ 0.789 = 6.72 mL che è pari anche al volume dell’oggetto.
La densità dell’oggetto è quindi d = 15.8 g/ 6.72 mL = 2.35 g/mL
6) Un tubo di vetro chiuso ad un’estremità e lungo 12.0 cm è riempito di etanolo. La massa di etanolo necessaria per riempire il tubo è di 9.60 g. La densità dell’etanolo è 0.789 g/mL. Calcolare il diametro interno del cilindro
Il volume dell’etanolo V = m/d = 9.60 g/ 0.789 g/mL = 12.2 mL
Dalla formula del volume del cilindro V = πr2h si ha che
r = √ V/πh = 12.2 / 3.14 ∙ 12.0 = 0.569 cm
da cui il diametro è di 2 ∙ 0.569 =1.14 cm