Cifre significative: calcoli, esercizi

Le cifre significative esprimono numericamente il valore di una misura sperimentale che deve contenere tante cifre quante sono quelle determinabili con sicurezza mediante lo strumento di misura utilizzato

Quando si effettuano misure di grandezze fisiche come massa, volume e temperatura si utilizza uno strumento di misura. Esso  ha una certa sensibilità che è il più piccolo valore della grandezza che lo strumento è in grado di misurare.

Si supponga, ad esempio, che utilizzando una bilancia, si ottenga che la massa di un corpo sia di 7.853 g.

Ciò implica che lo strumento ci consente di determinare con sicurezza i grammi, i decigrammi, i centigrammi ma non i milligrammi. Su essi cui grava un’incertezza di ±1. La misura potrebbe essere quindi scritta come 7.853 ± 0.001 ovvero la massa del corpo è compresa tra 7.852 e 7.854 g.

La misura ha quindi 4 cifre significative di cui 3 cifre attendibili e una dubbia.

Supponiamo che la massa di un corpo sia di 12.5 g e volessimo esprimere la misura in milligrammi. Non si può scrivere 12500 mg in quanto nella misurazione effettuata l’incertezza ricade sui decigrammi pertanto bisogna scrivere 1.25 ∙ 10⁴ mg.

Uno dei maggiori problemi nell’attribuzione del numero di cifre significative di una misurazione è la presenza dello zero.

Se lo zero è compreso tra due cifre diverse da zero esso è una cifra significativa quindi il numero 3.307 g ha quattro cifre significative.

Mentre se lo zero è l’ultima cifra esso è una cifra significativa pertanto il numero 1.70 g ha tre cifre significative.

Se lo zero si trova a sinistra di un numero e serve solo a localizzare la virgola esso non è una cifra significativa. Quindi il numero 0.433 g ha tre cifre significative così come in numero 0.0024 g ha due cifre significative.

Calcoli con le cifre significative

Si supponga che ad un becher vuoto di massa 75.0 g venga aggiunto un sale di massa 0.235 g.

La massa complessiva non è quella che ci fornisce la somma dei due numeri ovvero 75.235 g in quanto il numero 75.0 ha tre cifre significative e un’incertezza sui decigrammi pertanto la somma dei due numeri deve mantenere incertezza sui decigrammi quindi 75.0 g + 0.235 g = 75.2 g.

Quando si fanno operazioni di somma o sottrazione tra due o più misure il risultato dell’operazione deve contenere lo stesso numero di decimale dell’addendo o del sottraendo che ne contiene il minor numero: (22.5 + 12.10 + 10.41) g = 45.0 g

Il risultato della moltiplicazione o della divisione deve contenere lo stesso numero di cifre significative presenti nel fattore che ne contiene di meno. Ad esempio 0.348 coulomb/ 0.12 s = 2.9 coulomb/s

Quando il valore numerico di una grandezza contiene un numero di cifre maggiore rispetto a quello delle cifre significative che devono essere usate si  procede al suo arrotondamento. Sono eliminate tutte le cifre che seguono l’ultima cifra significativa secondo le regole seguenti:

1) se la prima delle cifre eliminate è maggiore di 5 si aumenta di una unità l’ultima cifra ovvero si arrotonda per eccesso

Esempio: se si deve arrotondare il numero 2.327 a tre cifre significative si deve eliminare il 7 che è maggiore di 5 e il 2 va aumentato a 3 ovvero 2.33

2) se la prima delle cifre eliminate è minore di 5 l’ultima cifra significativa rimane invariata e pertanto si arrotonda per difetto

Esempio: se si deve arrotondare il numero 1.034 a tre cifre significative si deve eliminare il 4 che è minore di 5. Pertanto l’ultima cifra significativa rimane invariata ovvero 1.03

3) se la prima delle cifre eliminate è uguale a 5 onde evitare che nello svolgimento di numerosi calcoli le approssimazioni fatte tutte per eccesso o per difetto diano un risultato poco rispondente si dovrebbe utilizzare un metodo statistico ovvero, ad esempio, approssimare per eccesso se il numero che precede il 5 è dispari o approssimare per difetto se il numero che precede il 5 è pari. Ovviamente questo tipo di convenzione può essere invertita.

Esempio: se si deve arrotondare il numero 3.025 a tre cifre significative si deve eliminare il 5 e poiché il numero che precede il 5 è pari si arrotonda per difetto ovvero 3.02. Se si deve arrotondare il numero 3.035 a tre cifre significative si deve eliminare il 5 e poiché il numero che precede il 5 è dispari si arrotonda per eccesso ovvero 3.04.

Occorre sottolineare che quest’ultimo metodo, che è stato usato per molto tempo, è probabilmente stato considerato farraginoso e quindi anche i testi più accreditati arrotondano sempre per eccesso.