Urto elastico: calcolo della velocità

In un urto elastico si verifica la conservazione dell’energia cinetica totale e della quantità di moto totale. È importante ricordare che le singole velocità ed energie possono cambiare, ma l’energia totale e la quantità di moto totale rimangono costanti.

In realtà quando due corpi collidono tra loro una parte dell’energia cinetica è sempre convertita in altre forme di energia. Tuttavia si verificano casi in cui l’urto si può considerare quasi elastico. Un esempio è costituito dall’urto di due blocchi di acciaio sul ghiaccio. Un altro esempio è la collisione tra molecole di un gas ideale

Per risolvere problemi che coinvolgono un urto elastico unidimensionale  bisogna usare le equazioni per la conservazione della quantità di moto e la conservazione dell’energia cinetica.

Primo, l’equazione per la conservazione della quantità di moto per due oggetti in una collisione unidimensionale è:
m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁’ + m₂v₂^’ (1)

Poiché un urto elastico conserva l’energia cinetica totale si ha:
½ m₁v₁² + ½  m₂v₂² = ½ m₁v₁^’2 + ½  m₂v₂^’2 (2)

In un urto elastico in due dimensioni, le masse si muovono in direzioni diverse dopo la collisione. La massa in movimento m₁  collide con la massa stazionaria m₂ . La quantità di moto lineare è conservata nell’interazione bidimensionale delle masse. In questo caso, vediamo le masse muoversi nei piani x,y. Le equazioni delle componenti x e y sono:

m₁ u₁  = m₁ u₂ cos θ₁  + m₂v₂ cos θ₂

0 = m₁ u₂ sen θ₁  – m ₂ v ₂ senθ₂

Per gli oggetti sferici che hanno superfici lisce, la collisione avviene solo quando gli oggetti si toccano tra loro. Questo è ciò che accade nei giochi di biglie, carambola e biliardo.

Calcolo delle velocità nell’urto elastico

Un corpo di massa 0.500 kg ha un urto elastico con un corpo inizialmente fermo di massa 3.50 kg con una velocità di 4.00 m/s. Calcolare la velocità finale dei due corpi

Poiché il corpo di massa 3.50 kg è inizialmente fermo v₂ = 0 e quindi mv₂ è pari a 0
Pertanto sostituendo nella (1) si ha:
0.500 · 4.00 = 0.500 v₁’+ 3.50 v₂’
2.00 = 0.500 v₁’+ 3.50 v₂’

Per il teorema di conservazione dell’energia cinetica si ha:

½ ·0.500 · (4.00)² = ½ ·0.500 · v₁^’2 + ½  3.50 ·v₂^’2
4.00 = 0.250 · v₁^’2 + 1.75 · v₂^’2

Si hanno quindi 2 equazioni in 2 incognite. Risolvendo il sistema escludendo le radici negative si ottengono le velocità finali

Il requisito della conservazione dell’energia cinetica fornisce un vincolo aggiuntivo alle equazioni del moto e in molti casi la soluzione sarà adeguata perché l’urto è considerabile elastico

Un corpo di massa di 10 kg che viaggia a 2 m/s  si scontra elasticamente con una massa di 2 kg che viaggia a 4 m/s nella direzione opposta. Trovare le velocità finali di entrambi i corpi.

La velocità è una grandezza vettoriale e dobbiamo distinguere la direzione dei vettori di velocità. Si opta ad esempio che da sinistra a destra la direzione è positiva. Qualsiasi velocità che si muove da destra a sinistra avrà quindi un valore negativo.

m_A = 10 kg
V_​​Ai =2 m/s
m_B = 2 kg
V _Bi = -4 m/s

Si devono trovare V_​​Af e V_​​Bf .
V_​​Af = (m_A – m_B )  V_​​Ai/m_A + m_B  + 2 m_B V_Bi/m_A + m_B

Inserendo i dati noti si ha: V_​​Af = (10-2) 2/10+2 +  2(2)(-4)/10+2 = 0
La velocità finale della massa più grande è zero. In modo analogo si ottiene che V _Bi è pari a 6 m/s