Principio di Pascal: formule, applicazioni, esercizi

Secondo il principio di Pascal in un fluido a riposo confinato la variazione di pressione in una parte è trasmessa a ogni parte del fluido con la stessa intensità e in direzione perpendicolare alla parete del contenitore su cui il fluido esercita la pressione.

Il principio di Pascal esposto dal matematico e fisico francese Blaise Pascal costituisce una legge importante della meccanica dei fluidi insieme alla legge di Stevino e al principio di Archimede. Pascal contribuì anche matematica con un teorema che è uno dei teoremi-base della teoria delle coniche

Si noti che il principio di Pascal non asserisce che la pressione è la stessa in tutti i punti di un fluido ma si applica al cambiamento di pressione.

Formule

Se il fluido ha una superficie libera questa rappresenta il livello di riferimento rispetto al quale si misurano le distanze.

Detta p_o la pressione esercitata sulla superficie libera e  h la distanza tra la superficie libera e un punto p si ha:
p = p_o + ρgh
dove ρ è la densità del liquido e g l’accelerazione di gravità.
Questa equazione mostra che la pressione è la stessa in tutti i punti alla stessa profondità.

Applicazioni

I sistemi idraulici utilizzano un fluido incomprimibile, come olio o acqua, per trasmettere le forze da una posizione all’altra all’interno del fluido. Si ricava una relazione tra le forze in un sistema idraulico mostrato in figura applicando il principio di Pascal.

Notare prima che i due pistoni nel sistema sono alla stessa altezza, quindi non ci sarà differenza di pressione dovuta a una differenza di profondità.

Si indichino con A₁ e con A₂ rispettivamente le superfici dei due pistoni.

Se su pistone più piccolo di area A₁ è applicata una forza F₁ la pressione esercitata è pari a:

P₁ = F ₁/A₁

Secondo il principio di Pascal, questa pressione si trasmette inalterata in tutto il fluido e a tutte le pareti del recipiente. Così, all’altro pistone si avverte una pressione P₂ pari a:
P₂ = F₂/A₂

Poiché P₁=P₂ si ha che
F₁/A₁ = F₂/A₂

Questa equazione mette in relazione i rapporti tra la forza e l’area in qualsiasi sistema idraulico, a condizione che i pistoni siano alla stessa altezza e che l’attrito nel sistema sia trascurabile.

Alcune delle applicazioni del principio di Pascal sono il martinetto idraulico, il sollevatore idraulico e il sistema frenante idraulico utilizzato nelle automobili e la gru idraulica. Quest’ultima contiene una pompa idraulica alimentata dal motore  che applica pressione all’olio o al fluido contenuto nel sistema.

Poiché l’olio è incomprimibile, la variazione di pressione esercitata su una parte dell’impianto si distribuisce uniformemente su tutte le altre parti . Ciò consente al dispositivo di sollevare attrezzature e contenitori pesanti che sono relativamente più difficili da trasportare con altri dispositivi di sollevamento.

Esercizi

• In un sistema idraulico costituito da due pistoni di area A₁ =0.001 m² e A₂ = 0.1 m² si imprime una forza F₁ di 100 N sul pistone più piccolo. Calcolare la forza F₂

Applicando l’equazione:
F₁/A₁ = F₂/A₂
Si ha:
100/0.001 = F₂/0.1
Da cui F₂ = 100 · 0.1/0.001 = 10000 N

• L’ascensore idraulico ha una grande e una piccola sezione. La superficie maggiore della sezione trasversale è 20 volte maggiore di quella piccola. Se sulla piccola sezione è impressa una forza di F₁ di 25 N, determinare la forza F₂.

F₂ = F₁A₂/A₁
Poiché A₂ = 20 A₁ si ha:
F₂ = 25 · 20 A₁/A₁ = 500 N