Moto armonico: grandezze, grafico

Il moto armonico semplice è un moto oscillatorio rispetto a una posizione di equilibrio.

La forza responsabile del moto armonico è sempre diretta verso la posizione di equilibrio ed è direttamente proporzionale alla distanza da essa. Cioè, F = − kx , dove F è la forza, x è lo spostamento e k è una costante. Questa relazione rappresenta la legge di Hooke e tale sistema si chiama oscillatore armonico.

Se la forza risultante può essere descritta dalla legge di Hooke dovuta al fisico inglese Robert Hooke e non c’è smorzamento per attrito o altre forze non conservative, un oscillatore armonico oscillerà con uguale spostamento su entrambi i lati della posizione di equilibrio. Lo spostamento massimo dall’equilibrio è chiamato ampiezza X.

Periodo e frequenza

In assenza di attrito, il tempo per completare un’oscillazione rimane costante ed è chiamato periodo T la cui unità di misura è il secondo

La frequenza ν è definita come il numero di eventi per unità di tempo. L’unità di misura per la frequenza nel Sistema Internazionale è l’ hertz (Hz) ed è definita come un ciclo al secondo:
1 Hz = 1 ciclo/secondo = s^-1 in cui un ciclo corrisponde a un’oscillazione completa. La relazione tra frequenza e periodo è:
ν = 1/T

La velocità massima di un corpo di massa m si verifica quando passa attraverso la posizione di equilibrio.

Velocità angolare

La velocità angolare ω del moto definita in radianti al secondo e dipende dall’angolo θ percorso nell’unità di tempo. Essa è relazionata alla frequenza dall’equazione:
ω = 2 πν

Ampiezza

Lo spostamento d il cui valore massimo è l’ampiezza A ovvero la massima distanza dalla posizione di equilibrio, è espresso dall’equazione:
d = A sen θ = A sen ωt = A sen 2 πνt

Grafico

Si consideri un punto p che si muove in modo antiorario a velocità costante lungo una circonferenza. La sua proiezione OC sull’asse verticale è rappresentata da una funzione sinusoidale

Applicazioni del moto armonico

I sistemi fisici più noti che si muovono di moto armonico sono il pendolo:

• semplice ovvero un sistema ideale formato da una massa puntiforme sospesa ad un filo inestensibile e privo di massa. Quando è abbandonato a sé stesso il pendolo oscilla in un piano verticale sotto l’azione della forza di gravità
• di torsione rappresentato da un disco sospeso a un filo per il suo centro di massa. Il filo è a sua volta ancorato solidalmente a supporto fisso. Sul perimetro del disco è avvolto un filo che dopo essere passato nella gola di una carrucola termina con un cappio a cui è applicato un peso
• fisico che è una generalizzazione del pendolo semplice

Esercizi

Una molla che ha una costante pari a 200 N/m. Calcolare  la forza necessaria a comprimerla di 0.1 m

Dalla legge di Hooke F = – kx = – 200 N/m (- 0.1 m) = 20 N
Si noti che sia la forza che lo spostamento sono negativi perché sta comprimendo la molla

Un oscillatore armonico semplice ha un’equazione di spostamento x = 5 cosωt. Dimostrare che qualunque sia il valore di ω, l’oscillatore armonico semplice è nella sua posizione estrema a t = 0.

 La posizione estrema è contrassegnata dallo spostamento massimo (ampiezza) dalla posizione media.

Per l’equazione dello spostamento, x = 5 cosωt

La posizione estrema rappresenta x = 5

Ora, a t = 0, abbiamo

x = 5 cos(ω x 0) = 5 cos 0 = 5

Pertanto, a t = 0, la particella si trova nella sua posizione estrema.

Due particelle oscillano in modo semplice e armonico con la stessa ampiezza e la stessa frequenza lungo la stessa linea retta. Si incrociano quando si muovono in direzioni opposte, ogni volta il loro spostamento è 1/√2 volte la loro ampiezza. Qual è la differenza di fase tra loro?

Supponiamo che le equazioni del moto di due particelle siano 

y ₁ = A sinωt e 

y ₂ = A seno (ωt + Φ)

Dove

• A è l’ampiezza massima
• Φ è la differenza di fase

Per y ₁ = A/√2 e y ₂ = A/√2, abbiamo

A/√2 = A sinωt e A/√2 = A sin(ωt + Φ)

⇒ sin ωt = 1/√2 e sin(ωt + Φ) = 1/√2

⇒ ωt = π/4 e ωt + Φ = π/4 o 3π/4

Poiché le due particelle non sono nella stessa fase

⇒ ωt + Φ = 3π/4

⇒ Φ = 3π/4 – π/4 = π/2