Momento angolare
Il momento angolare o momento della quantità di moto è una misura della forza che può far ruotare un oggetto attorno a un asse.
Si consideri una particella nella posizione r con un momento lineare p = mv rispetto all’origine.
Il momento angolare l è definito dal prodotto vettoriale tra r e p ed è perpendicolare al piano che contiene r e p. Il verso è dato dalla regola della mano destra. Si sovrappone cioè r a p attraverso l’angolo più piccolo secondo le dita piegate della mano destra: il verso del pollice eretto è quello di l
Ovvero l = r ∧ p (1)
Formule
Il modulo del momento angolare è dato da:
l = r p senθ
dove θ è l’angolo tra r e p
L’unità di misura del momento angolare è kg·m2/s
Si può scrivere il modulo di l come:
l = (r sen θ)p = p r⊥ (2)
o come:
l = (p sen θ) r = r p⊥ (3)
dove:
r⊥ = r sen θ e rappresenta la componente di r perpendicolare alla retta di azione d p
p⊥= p sen θ e rappresenta la componente di p perpendicolare a r
Inoltre r⊥ è chiamato braccio del momento
Contributi al momento angolare
L’equazione (3) mostra che solo la componente di p perpendicolare a r contribuisce al momento angolare.
Quando l’angolo θ tra r e p è di 180° non esiste componente perpendicolare infatti p⊥= p sen 0 = 0. Si verifica quindi che la retta di azione di p passa per l’origine e anche r⊥ è nullo
Momento di una forza e momento angolare
Dalla definizione di forza si ha:
F = d(mv)/dt = dp/dt dove p è la quantità di moto
Si consideri il prodotto vettoriale di r per ambo i membri di questa equazione:
r ∧ F = r ∧ dp/dt
Poiché r ∧ F è il momento di una forza rispetto all’origine si ha:
τ = r ∧ dp/dt (4)
Derivando la (1) rispetto al tempo di ha:
dl /dt=d/dt ( r ∧ p )
Per fare la derivata di un prodotto vettoriale non bisogna invertire l’ordine dei fattori quindi:
dl/dt = (dr/dt ∧ p ) + (r ∧ dp/dt )
dr è il vettore che rappresenta lo spostamento della particella nel tempo dt quindi dr/dt è la velocità istantanea. Ricordando che p = mv si ha:
dl/dt = (v ∧ mv )+ (r ∧ dp/dt )
Poiché v ∧ mv = 0 in quanto il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo si ha:
dl/dt = r ∧ dp/dt (5)
confrontando la (4) e la (5) si ha:
τ = dl/dt
ovvero la derivata rispetto al tempo del momento angolare di una particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa