Leggi di Kirchhoff
Le leggi di Kirchhoff rappresentano uno degli strumenti fondamentali della fisica e dell’ingegneria elettrica. Nonostante siano state formulate nella prima metà dell’Ottocento dal fisico tedesco Gustav Robert Kirchhoff, hanno ancora oggi un ruolo centrale nello studio e nella progettazione dei circuiti elettrici ed elettronici.
L’importanza delle leggi di Kirchhoff risiede nel fatto che permettono di analizzare e comprendere circuiti di qualunque complessità, superando i limiti della sola legge di Ohm. Senza le leggi di Kirchhoff, sarebbe impossibile calcolare con precisione come si distribuiscono tensioni e correnti nei circuiti reali, dove più componenti interagiscono tra loro contemporaneamente.
Che si tratti di alimentare una semplice lampadina, di progettare un computer, o di gestire una rete elettrica nazionale, le leggi di Kirchhoff sono sempre presenti, garantendo che la conservazione della carica elettrica e dell’energia sia rispettata in ogni punto del sistema.
Nato a Königsberg, una città dell’allora Prussia orientale (oggi Kaliningrad, in Russia), nel 1824, Kirchhoff mostrò sin da giovane la capacità di trasformare principi fisici astratti in strumenti concreti di calcolo, gettando le basi per l’elettronica moderna ben prima che venissero inventati transistor e microchip e formulò a solo 21 anni le due leggi che portano il suo nome in un’epoca in cui l’elettricità era ancora un fenomeno misterioso, esplorato con strumenti rudimentali.
Eppure, con grande lucidità, Kirchhoff comprese che le correnti e le tensioni nei circuiti dovevano obbedire a leggi di conservazione, come già accadeva nella meccanica e le sue leggi furono accolte con grande interesse nel mondo scientifico e si diffusero rapidamente grazie alla loro efficacia e semplicità.
Nodi, rami e maglie: il vocabolario dei circuiti
Prima di addentrarci nelle leggi di Kirchhoff, è utile chiarire alcuni concetti fondamentali che ci aiuteranno a comprendere la struttura di un circuito elettrico.
Nodo (Node): è un punto di connessione tra tre o più elementi di un circuito. In pratica, un nodo è un punto dove le correnti si incontrano e si dividono. Dal punto di vista elettrico, tutti i punti collegati da conduttori ideali (senza resistenza) si considerano appartenenti allo stesso nodo, poiché si trovano allo stesso potenziale elettrico.
Ramo (Branch): è un tratto di circuito in cui scorre una corrente. Ogni ramo contiene uno o più componenti elettrici collegati in serie (come resistenze, generatori, condensatori, ecc.) e ha una corrente ben definita.
Maglia (Mesh) : è un percorso chiuso all’interno di un circuito. Seguendo una maglia, si parte da un punto, si percorre una serie di rami in successione e si torna al punto di partenza, senza passare due volte dallo stesso nodo (se non per chiudere il circuito). Le maglie sono fondamentali per analizzare come le tensioni si distribuiscono nel circuito.
Immaginare un circuito come una rete stradale può essere utile: i nodi sono gli incroci, i rami sono i tratti di strada, e le maglie sono i giri ad anello che un’auto può fare tornando al punto di partenza. La comprensione di questi concetti, consente la comprensione delle leggi di Kirchhoff in cui vengono messi in relazione per analizzare e risolvere i circuiti.
Le due leggi di Kirchhoff
Prima legge di Kirchhoff: la legge dei nodi (o delle correnti)
La prima delle due leggi di Kirchhoff è legata al principio di conservazione della carica elettrica, una delle leggi fondamentali della fisica. Essa afferma che:
In ogni nodo di un circuito elettrico, la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti ovvero la corrente non si crea e non si distrugge e può essere espressa come: Σ Iin = Σ Iout
oppure, utilizzando i segni convenzionali (positive le correnti entranti, negative le uscenti o viceversa): Σ I = 0. Ad esempio si considerino due correnti A e B entranti in un nodo rispettivamente di 30 mA e 120 mA e due correnti uscenti C e D. Se la corrente C è pari a 180 mA si può calcolare il valore della corrente D.
Si può scegliere la convenzione per la quale il flusso in entrata nel nodo sia positivo e quello in uscita sia negativo (oppure si può fare il contrario). Quindi si ha:
30 + 120 – 180 + D = 0 da cui D = 30 mA
Seconda legge di Kirchhoff: la legge delle maglie (o delle tensioni)
La seconda delle due leggi di Kirchhoff è invece legata al principio di conservazione dell’energia. Ogni volta che una carica percorre un circuito chiuso, l’energia che riceve dai generatori viene completamente dissipata nei componenti resistivi o conservata in elementi reattivi come condensatori e induttori. Kirchhoff formalizzò questo comportamento nella sua seconda legge, che afferma:
In ogni maglia chiusa, la somma algebrica delle tensioni (differenze di potenziale) è uguale a zero.
In termini pratici, se si percorre una maglia e si sommano le tensioni dei generatori e delle cadute di potenziale (seguendo una convenzione di segno coerente), il totale sarà sempre nullo:
Σ V = 0
Si consideri una maglia costituita da una batteria da 9 V e due resistenze in serie. Se la caduta di tensione sulla prima resistenza è di 5 V e quella sulla seconda di 4 V, la somma delle cadute (5 V + 4 V) è pari alla tensione fornita dalla batteria (9 V).
Le due leggi di Kirchhoff prese insieme, permettono di scrivere un sistema di equazioni per analizzare completamente un circuito e sono alla base di metodi di risoluzione molto usati, come l’analisi nodale (che parte dai nodi) e l’analisi delle maglie (che parte dai percorsi chiusi).
Guida pratica all’applicazione delle leggi di Kirchhoff
Per applicare le leggi di Kirchhoff in modo efficace, soprattutto nei circuiti più complessi, è utile seguire un procedimento ordinato. Ecco una guida in 5 passaggi
Disegnare il circuito rappresentando tutti i componenti e identificando i nodi, i rami e le maglie.
Scegliere le convenzioni per correnti e tensioni supponi un verso arbitrario per ogni corrente (anche se sbagliato, il risultato numerico uscirà negativo e indicherà il verso opposto) e indica la polarità della tensione ai capi di ogni componente (positivo-negativo).
Applicare la prima legge di Kirchhoff per ogni nodo (escluso uno, per evitare ridondanze) e scrivere l’equazione: Σ I = 0. Inserire in modo coerente le correnti positive in entrata e negative in uscita o viceversa
Applicare la seconda delle leggi di Kirchhoff per ogni maglia indipendente, percorrendo il circuito seguendo un verso (orario o antiorario). Sommare algebricamente le tensioni: generatori, cadute di tensione sulle resistenze tramite la legge di Ohm (V = IR): Σ V = 0.
Risolvere il sistema di equazioni
Esempio svolto sulle leggi di Kirchhoff
Applicando le leggi di Kirchhoff calcolare la tensione ai capi di ogni resistore del circuito rappresentato in figura
Nodo 1 – Prima legge di Kirchhoff (Legge dei nodi)
Si consideri un nodo dove si incontrano tre correnti:
I1: entra nel nodo;
I2 e I3: escono dal nodo.
Applicando la legge dei nodi (conservazione della carica elettrica):
I1 = I2 + I3
Questo vuol dire che la corrente entrante nel nodo è pari alla somma delle correnti uscenti.
Maglia – Seconda legge di Kirchhoff (legge delle maglie)
Osserviamo una maglia chiusa che comprende un generatore da 12 V, una resistenza da 4 Ω percorsa da I1 e una resistenza da 6 Ω percorsa da I2
Percorrendo la maglia in senso orario e applicando la legge delle tensioni:
12 V – 4 Ω I1 – 6 Ω I2 = 0 ovvero 4 I1 + 6 I2 = 12
Si hanno 2 equazioni:
I1 = I2 + I3 (1)
4 I1 + 6 I2 = 12
sostituendo nella seconda il valore di I1 dalla prima si ha:
4 (I2 + I3) + 6 I2 = 12
da cui 10 I2 + 4 I3 = 12 (2)
Ora, serve una terza equazione indipendente ma dal circuito si può notare che:
R2 e R3 non sono in una maglia alimentata da un generatore, la corrente I2 non ha un generatore che la spinge. La tensione ai capi di R2 può essere zero se i potenziali ai suoi capi sono uguali e ciò è possibile se non c’è tensione indotta dal generatore in quella maglia.
Quindi, è fisicamente plausibile che I2 sia pari a zero e possiamo verificarlo sostituendo tale valore nelle due equazioni per vedere se sono soddisfatte:
La (2) diventa: 4 I3 = 12 da cui I3 = 3
Dalla (1) I1 = I3 = 3
Cadute di tensione:
Su R1: V1 = R1I1 = 4 Ω · 3 A = 12 V
Su R2: V2 = R2I2 = 6 Ω · 0 A = 0
Su R3: V3 = R3I3 = 2 Ω · 3 A = 6 V
La caduta su R2 è nulla perché non circola corrente: resistenza senza corrente = nessuna caduta.
La tensione fornita dal generatore è 12 V, ed è interamente assorbita da R1 nella maglia principale. La caduta su R3 dipende dal ramo laterale percorso da I3.
Se tutte le tre correnti sono realmente indipendenti tra loro. In circuiti più complessi (es. 2 generatori, 2 maglie attive, 2 nodi importanti), si dovranno cercare tramite le leggi di Kirchhoff 3 equazioni indipendenti e passare alla risoluzione del sistema
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il 27 Luglio 2025