Legge di Stokes

La legge di Stokes è una delle espressioni fondamentali della fluidodinamica, utilizzata per descrivere la forza viscosa che un fluido esercita su una particella sferica in movimento. La legge di Stokes è definita come un principio della meccanica dei fluidi che descrive il movimento di particelle piccole, lisce e sferiche in un fluido in condizioni di flusso laminare, determinando la loro velocità terminale in base all’equilibrio delle forze che agiscono su di esse.

Formulata dal fisico e matematico inglese George Gabriel Stokes nel 1851, questa legge rappresenta un pilastro nello studio dei moti lenti e laminari nei fluidi, ovvero in quelle condizioni in cui l’inerzia è trascurabile rispetto agli effetti viscosi.

In termini pratici, la legge di Stokes consente di calcolare con precisione la velocità di caduta di piccole particelle in un fluido viscoso, ed è quindi largamente impiegata in ambiti che vanno dalla chimica dei colloidi alla biologia cellulare, dalla geologia all’ingegneria ambientale. La sua semplicità formale, unita alla potenza descrittiva nei regimi a basso numero di Reynolds, la rende uno strumento teorico e applicativo di grande valore.

Derivazione della legge di Stokes

Per ricavare la legge di Stokes, si parte dall’assunto che una sfera che si muove in un fluido viscoso subisca una forza di resistenza dovuta proprio alla viscosità del fluido. Questa forza, chiamata forza di trascinamento, si oppone al moto della sfera e risulta proporzionale a tre fattori principali: la velocità della sfera, la viscosità del fluido e il raggio della sfera stessa.

Matematicamente, possiamo esprimere questa relazione come:

F  ηrv

dove:

-F è la forza viscosa esercitata dal fluido sulla particella (in newton, N)
–η è la viscosità dinamica del fluido (in pascal·secondo, Pa·s)
-r è il raggio della particella sferica (in metri, m)
-v è la velocità della particella rispetto al fluido (in metri al secondo, m/s)

Per passare da questa proporzionalità a un’uguaglianza, introduciamo una costante di proporzionalità k:

F = k ηrv

Attraverso un’analisi dimensionale delle grandezze coinvolte nel Sistema Internazionale si può determinare che questa costante deve essere adimensionale. Considerando le dimensioni fisiche coinvolte:

F ≡ [kg · m · s^-2]
η ≡ [kg · m^-1 · s^-1]
r ≡ [m]
v≡ [m · s^-1]

Pertanto le dimensioni di ηrv sono:
[kg · m^-1 · s^-1][m][ m · s^-1] = [kg · m · s^-2]
che corrispondono esattamente alle dimensioni della forza F

Si ottiene che k deve essere un numero puro per rendere l’equazione dimensionalmente coerente.

Il valore di k fu determinato sperimentalmente da George Gabriel Stokes ed è pari a 6π

La formula definitiva diventa quindi: F = 6πηrv

Velocità terminale

Una delle applicazioni più importanti della legge di Stokes è il calcolo della velocità terminale v_s di una particella sferica che cade attraverso un fluido viscoso. Quando una particella è soggetta alla forza di gravità, tende ad accelerare verso il basso.

Tuttavia, man mano che la velocità aumenta, la resistenza opposta dal fluido, descritta proprio dalla legge di Stokes, cresce fino a controbilanciare completamente la forza peso al netto della spinta di Archimede. In questo punto di equilibrio, la particella smette di accelerare e continua a muoversi con velocità costante, detta appunto velocità terminale.

Questo concetto è cruciale per comprendere il comportamento delle particelle nei processi di sedimentazione naturale o artificiale, come quelli che avvengono nei corpi idrici, negli impianti di trattamento delle acque o nei fenomeni di deposizione atmosferica.

Un esempio intuitivo si può osservare in riva al mare: se si lascia cadere un piccolo sassolino in acqua, si nota che esso affonda lentamente, ben più lentamente che nell’aria. Questo accade perché il fluido, in questo caso l’acqua, esercita una resistenza che ne frena la caduta. Dopo una breve accelerazione iniziale, il sassolino raggiunge una velocità costante: questa è la sua velocità terminale.

In condizioni ideali, per particelle sferiche di raggio r, densità ρ_p ​ immerse in un fluido di densità ρ_f​ e viscosità dinamica η, la velocità terminale si può calcolare ponendo in equilibrio la forza di gravità, la spinta di Archimede e la forza viscosa, ottenendo:

Questa equazione mostra come la velocità terminale aumenti con il quadrato del raggio della particella e con la differenza di densità tra particella e fluido, mentre diminuisce all’aumentare della viscosità del fluido.

Condizioni di validità

Affinché la legge di Stokes sia applicabile, devono essere rispettate alcune condizioni fisiche ben precise. In primo luogo, è necessario che il flusso del fluido sia laminare, cioè regolare e privo di turbolenze. Questo si verifica quando il numero di Reynolds associato al moto della particella è molto inferiore a 1 (Re ≪ 1), indicando che gli effetti viscosi dominano su quelli inerziali.

Un’altra condizione fondamentale riguarda la forma e le dimensioni della particella: essa deve essere sferica, liscia e di piccole dimensioni rispetto alla scala del fluido circostante. Inoltre, la particella deve muoversi a bassa velocità e in un fluido continuo, senza effetti di interazione con altre particelle o con le pareti del contenitore.

È inoltre necessario che la viscosità del fluido sia costante e che non vi siano variazioni significative di temperatura o densità nel sistema. In presenza di condizioni diverse,  come flussi turbolenti, particelle non sferiche, o elevati numeri di Reynolds, la legge di Stokes non è più valida e occorre adottare modelli più complessi.

Infine, si considera che il fluido sia idealmente infinito, cioè privo di effetti di bordo, condizione che nella pratica si ottiene facendo in modo che la particella sia molto lontana dalle pareti del contenitore. La legge di Stokes, inoltre, si applica solo a moto stazionario, ovvero quando la particella non sta accelerando e le forze in gioco si bilanciano.

Applicazioni pratiche

La legge di Stokes trova numerose applicazioni in ambito scientifico, tecnico e industriale, soprattutto nei casi in cui sia necessario analizzare il moto di particelle piccole in fluidi viscosi. Una delle applicazioni più comuni riguarda il calcolo della velocità terminale di particelle solide, come polveri o sedimenti, che cadono in un fluido. Questo principio è utilizzato, ad esempio, nella determinazione della granulometria di materiali fini, tramite metodi di sedimentazione.

In ambito ambientale, la legge è impiegata nello studio della deposizione delle particelle inquinanti presenti nell’atmosfera o in sospensione nei corpi idrici. In biologia e medicina, è utile per descrivere il comportamento di cellule o microsfere in soluzioni fluide, come nel caso della microfluidica o dell’analisi del sangue, dove le forze viscose sono predominanti.

Anche in ingegneria chimica e industria farmaceutica, la legge di Stokes viene utilizzata per progettare processi di separazione solido-liquido, come la decantazione o la centrifugazione a bassa velocità, in cui la velocità di sedimentazione delle particelle è un parametro fondamentale.

Determinazione sperimentale della costante di Avogadro

Contrariamente a quanto si possa pensare, il numero di Avogadro, ossia il numero di particelle presenti in una mole non fu scoperto da Amedeo Avogadro (1776–1856). Avogadro, avvocato di formazione e primo professore di fisica in Italia nel 1820, è noto per la sua celebre legge sui gas secondo cui volumi uguali di gas, alla stessa temperatura e pressione, contengono lo stesso numero di particelle. Tuttavia, fu il fisico francese Jean Baptiste Perrin a introdurre per la prima volta il termine “numero di Avogadro” e a fornirne una stima quantitativa.

Nel 1909, Perrin pubblicò una delle prime determinazioni sperimentali di questa costante, basandosi sullo studio del moto browniano, ovvero il movimento casuale di particelle microscopiche sospese in un liquido. Utilizzando la legge di Stokes per calcolare la forza viscosa che agiva su queste particelle in equilibrio, e combinando tali dati con modelli statistici dell’equilibrio termodinamico, riuscì a stimare il numero di Avogadro in modo innovativo e preciso per l’epoca.

Il lavoro di Perrin fu cruciale non solo per determinare una costante fondamentale della chimica e della fisica, ma anche per confermare sperimentalmente l’esistenza degli atomi e delle molecole, in un momento storico in cui il modello atomico era ancora oggetto di dibattito. Negli anni successivi, sono state sviluppate diverse tecniche per misurare con maggiore precisione questa costante, ma il contributo di Perrin, basato sulla legge di Stokes, resta una pietra miliare della fisica sperimentale.

Esempi

Un’applicazione pratica molto comune della legge di Stokes è il calcolo della velocità terminale di una particella che cade in un fluido, come una goccia d’acqua in olio o una piccola sfera di polistirolo in acqua. Supponiamo, ad esempio, di voler determinare la velocità con cui una piccola sfera di raggio noto e densità superiore a quella del fluido si muove verso il basso sotto l’effetto della gravità.

Utilizzando la formula della velocità terminale è possibile calcolare il valore di v_s conoscendo le proprietà fisiche della particella ovvero il raggio e la densità, quelle del fluido ovvero densità e viscosità e l’accelerazione di gravità g.

Un altro esempio significativo si trova nel settore ambientale, dove la legge di Stokes permette di stimare la caduta delle particelle di polveri sottili (PM10, PM2.5 e particelle ancora più fini) nell’aria. La capacità di prevedere la velocità con cui queste particelle si depositano al suolo è fondamentale per valutare la dispersione degli inquinanti atmosferici, il loro impatto sulla qualità dell’aria e sulla salute pubblica.

Le particelle sospese nell’aria derivano da molteplici fonti, come emissioni industriali, traffico veicolare, incendi boschivi e processi naturali. Queste polveri sottili possono rimanere sospese per lunghi periodi, ma alla fine, per effetto della gravità, tendono a cadere seguendo un moto lento e influenzato dalla resistenza viscosa dell’aria. La legge di Stokes consente di calcolare la loro velocità terminale di caduta considerando dimensioni, forma approssimata come sferica e densità delle particelle, oltre alle caratteristiche dell’aria come la viscosità e la densità.

Questa informazione è essenziale nei modelli di trasporto e deposizione degli inquinanti, che aiutano a prevedere la concentrazione di polveri in diverse aree urbane e rurali, a progettare strategie di mitigazione e a definire limiti normativi. Inoltre, la legge di Stokes è utile per comprendere la rimozione naturale degli aerosol dall’atmosfera e il loro ruolo nel ciclo dei contaminanti.

In ambito biologico, la legge viene utilizzata per analizzare il comportamento di cellule o di particelle microscopiche in sospensione in liquidi biologici, come il plasma sanguigno, utile per comprendere fenomeni di trasporto e sedimentazione cellulare.

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