Lavoro: equazione dimensionale, esercizi

Si definisce lavoro l’energia trasferita da un sistema ad un altro tramite l’applicazione di una forza. Il termine lavoro fu introdotto nel 1826 dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis  come “peso sollevato attraverso un’altezza”, che si basa sull’uso dei primi motori a vapore
Si supponga che una forza costante sia esercitata su un corpo provocandone uno spostamento. Se forza e lo spostamento sono paralleli e concordi, la componente della forza nella direzione dello spostamento è proprio la forza stessa.

Pertanto il lavoro è dato dal prodotto del modulo della forza per la distanza percorsa dal corpo e pertanto:
W = F · x

Ricordando che F è espressa in Newton e lo spostamento in metri l’unità di misura del lavoro è N · m.

Tale unità di misura che fa parte del Sistema Internazionale è il Joule.

Se la forza applicata e lo spostamento sono perpendicolari tra loro W = 0 poiché la componente del vettore F lungo la direzione dello spostamento è nulla

Equazione dimensionale

Poiché l’equazione dimensionale del Newton è kg· m/s² si ha che l’unità di misura del Joule è
J ≡ [ kg· m/s² · m] = [kg·m²·s^-2]

Esempio

Un corpo di massa 15 kg è sollevato di 75 cm. Calcolare il lavoro fatto dalla forza.

La forza è data da F = m·a
Nel caso in esame l’accelerazione è quella di gravità pertanto:
F = 15 kg · 9.8 m/s² = 147 N

Applicando l’equazione:
W = F · x
Si ha:
W = 147 N · 0.75 m = 110 J

Forza con direzione diversa dallo spostamento

Se la forza e lo spostamento non hanno la stessa direzione si deve considerare la componente della forza lungo la direzione dello spostamento. Detto θ l’angolo che la forza forma con lo spostamento si ha:
W = F · x · cos θ

Alla stessa formula si perviene considerando che sia la forza che lo spostamento sono grandezze vettoriali e il loro prodotto scalare è dato dalla formula indicata.

Il lavoro è quindi una grandezza scalare e quindi non è dotato di direzione e verso.

Esercizi

Un corpo è tirato sul ghiaccio con una forza di 22.9 N per 129 m. Calcolare il lavoro fatto sapendo che la forza è applicata con un’inclinazione di 35° rispetto allo spostamento

Applicando la formula:
W = F · x · cos θ si ha:
W = 22.9 N · 129 m cos 35° = 2.42 · 10³ J

Un blocco da 5 kg viene spostato su un piano inclinato di 30 gradi da una forza di 50 N, parallelamente al piano inclinato. Il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e il piano inclinato è 0.25. Calcolare il lavoro viene  dalla forza di 50 N nello spostamento del blocco per una distanza di 10 metri e il lavoro totale svolto sul blocco sulla stessa distanza

Poiché la forza di 50 N è applicata parallelamente all’inclinazione, il lavoro svolto è dato da: W = (50 N) (10 m) = 500 J
A causa del suo peso, mg, il blocco subisce una forza lungo il piano inclinato è pari a mg sen 30 = (5)(9.8)(0.5) = 24.5 N

Inoltre, vi è una forza di attrito che si oppone al movimento e quindi lungo il piano inclinato. La forza di attrito è data da F_k = μF_N = (0.25)( mg cos 30) = (0.25) ( 5 kg · 9.8 m/s² ) (0.866) =10.6 N

La forza normale e la componente della forza gravitazionale che è perpendicolare al piano inclinato si annullano. Quindi la forza netta che agisce sul blocco è: 50 N -24.5 N -10.6 N = 14.9 N , diretta verso l’alto lungo il piano inclinato. È questa forza netta che esercita un lavoro netto sul blocco. Quindi il lavoro svolto sul blocco è W = Fx = (14.9)(10) = 149 J.

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