Lavoro fatto da una forza variabile

La determinazione del lavoro fatto da una forza variabile richiede maggiori conoscenze rispetto a quelle necessarie se la forza è costante. Nella vita reale poche forze  sono costanti. Un esempio di forza non costante è la forza esercitata da una molla quando la si allunga

Infatti se la forza è costante e la forza e lo spostamento sono paralleli e concordi, la componente della forza nella direzione dello spostamento è proprio la forza stessa.

Pertanto il lavoro è dato dal prodotto del modulo della forza per la distanza x percorsa dal corpo e pertanto:

W = F · x

Se la forza e lo spostamento non hanno la stessa direzione si deve considerare la componente della forza lungo la direzione dello spostamento. Detto θ l’angolo che la forza forma con lo spostamento si ha:
W = F · x · cos θ

Il lavoro fatto da una forza variabile viene calcolato integrando la funzione forza rispetto allo spostamento. È rappresentato come l’area sotto la curva forza-spostamento. Dividere lo spostamento in intervalli più piccoli consente un’approssimazione più accurata del lavoro fatto da una forza variabile. Man mano che gli intervalli diventano infinitesimamente piccoli, l’approssimazione si avvicina al valore effettivo del lavoro.

Nell’interpretazione geometrica, il lavoro fatto da una forza variabile è rappresentato dall’area sotto la curva forza-spostamento. Sommando le aree di intervalli più piccoli, si può ottenere un’approssimazione del lavoro totale.

Grafico

Per calcolare il lavoro fatto da una forza variabile che, per semplicità varia solo in modulo, si consideri il seguente grafico in cui si riporta F in funzione di x

Si divide lo spostamento totale in un gran numero di piccoli intervalli Δx in cui la forza si può considerare costante e il lavoro fatto è:

ΔL = F ·Δx. Il grafico sottostante mostra come si può calcolare tale lavoro:

Calcolo del lavoro fatto da una forza variabile

Prendendo l’intervallo Δx sempre più piccolo si ottiene una approssimazione migliore.

Facendo tendere Δx a zero il numero di intervalli tende a infinito con il risultato di ottenere un risultato esatto. Pertanto il lavoro è dato da:

W = lim _{Δx → 0}  Σ F ·Δx

In cui la sommatoria è estesa da x_i a x_f. Questa non è altro che la definizione di integrale di F rispetto a x da x_i a x_f.

Pertanto:

Numericamente il lavoro è uguale all’area sottostante la curva della forza compresa tra x_i e x_f.

Energia potenziale di una molla

Per  calcolare l’energia potenziale di una molla si usa la legge di Hooke dovuta al fisico britannico Robert Hooke. L’energia potenziale è uguale al lavoro svolto dalla molla. Supponiamo che una molla sia fissata a una parete rigida e sia ideale e priva di massa. Ora supponiamo che la molla sia allungata in modo da spostarsi di una distanza x dalla sua posizione di equilibrio e sia compressa in modo da spostarsi di una distanza -x dalla sua posizione di equilibrio. Se lo spostamento risultante è misurato uguale a X_m , il lavoro svolto dalla formula della molla può essere derivato come

Sebbene il lavoro svolto dalla formula della molla sia negativo, l’energia potenziale elastica della molla non è negativa. Al contrario, nel momento stesso in cui la molla viene allungata o compressa, nella molla viene immagazzinata energia potenziale positiva.

Il lavoro svolto per tirare la molla è F_s= K(X_m)²/2. Supponiamo che una molla sia compressa di una distanza x. La molla viene spostata da uno spostamento iniziale Supponiamo che una molla sia compressa di una distanza x. La molla viene spostata da uno spostamento iniziale Xi a uno spostamento finale Xf . Il lavoro svolto è:
Quando la molla è in una posizione di equilibrio, l’energia potenziale di una molla è zero. Quando si estende la molla per uno spostamento X, le estremità sono stazionarie e quindi l’energia cinetica della molla è zero. Quindi, è chiaro da quanto sopra che l’energia potenziale di una molla è uguale al lavoro svolto dalla formula della molla.

Esempio

A una molla di lunghezza 30 cm è applicata una forza di 50 N. A seguito dell’applicazione di questa forza la molla si allunga a 35 cm. Calcolare il lavoro necessario per far allungare la molla da 32 a 36 cm

L’allungamento della molla è pari a 35-30 = 5 cm = 0.05 m

Si calcola la costante della molla applicando la legge di Hooke:

k = F/x = 50 N/0.05 m = 1000 N/m

Lo spostamento da 30 a 32 cm vale 2 cm (0.02 m) e quello da 30 a 36 cm vale 6 cm (0.06 m)

Si deve quindi calcolare l’integrale definito da 0.02 a 0.06 di  1000 x in dx

Il numero 1000 è una costante ed esce fuori dall’integrale che rimane di x in dx

Il valore dell’integrale è x²/2

Sostituendo i limiti di integrazione si ha:

W = (0.06)²/2 – (0.02)²/2 = 0.0016 J