Esercizi sulla Legge di Stevino

Si propongono esercizi sulla legge di Stevino, principio fondamentale dell’idrostatica che descrive la variazione della pressione all’interno di un fluido in equilibrio in funzione della profondità. Questa legge è alla base della comprensione di fenomeni quotidiani e applicazioni tecniche quali la pressione a cui sono sottoposti i subacquei, il funzionamento di barometri a liquido e il comportamento dei liquidi in vasi comunicanti.

Negli esercizi sulla legge di Stevino che seguono verranno illustrati diversi casi pratici, con calcoli dettagliati e commenti esplicativi, per consolidare la comprensione della relazione tra pressione, densità del fluido, altezza della colonna liquida e forza di gravità.

Secondo la legge di Stevino, dovuta all’ingegnere, fisico e matematico fiammingo Simon Stevin la pressione aumenta proporzionalmente alla profondità h secondo la relazione.

p = p₀ + ρgh
dove p₀ è la pressione iniziale, ad esempio la pressione atmosferica, ρ è la densità del fluido e g è l’accelerazione di gravità.

In alternativa, la legge può essere espressa utilizzando il peso specifico γ=ρg, semplificando la formula in
p = p₀ + γh

Questa seconda forma è molto pratica e utilizzata negli esercizi sulla legge di Stevino per i calcoli di pressione nei liquidi, poiché il peso specifico rappresenta direttamente il peso della colonna di fluido per unità di volume.

Ciò implica che la pressione idrostatica è la pressione esercitata da un fluido in equilibrio a causa della forza di gravità in un qualsiasi punto dato all’interno del fluido. Aumenta in proporzione alla profondità del fluido perché più un corpo va in profondità, più liquido ci sarà sopra, con un peso maggiore che agisce sulla stessa superficie

Equazioni dimensionali

Per la risoluzione degli esercizi sulla legge di Stevino può essere utile un chiarimento sulle equazioni dimensionali. Nel Sistema Internazionale la pressione viene espressa in Pascal ed è data dal rapporto tra forza esercitata e unità di superficie:

Pa ≡[N · m^-2]

La forza (Newton, N) si esprime [kg· m · s^-2]
pertanto l’equazione dimensionale del Pascal è Pa ≡ [kg· m · s^-2 · m^-2] = [kg· s^-2 · m^-1]

Unità di ρgh

Nel termine ρgh la densità è espressa in kg · m^-3, l’accelerazione in m · s^-2 e l’altezza in metri:
Pertanto ρgh ≡ [kg · m^-3 · m · s^-2· m] ≡ [kg· s^-2 · m^-1] ≡ Pa

Esercizi sulla Legge di Stevino svolti e commentati

-Un sub si trova a 10 metri di profondità nell’acqua marina che ha una densità pari a ρ=1025 kg/m³. Calcolare la pressione che agisce sul sub in quella posizione, considerando la pressione atmosferica pari a 101325 Pa

Sostituendo i valori noti nell’espressione p = p₀ + ρgh si ha:
p = 101325 Pa + (1025 kg/m³) (9.81 m/s²) (10 m) = 101325 Pa   + 100552.5 kg/ms² = 201877 Pa

-Calcolare a quale altezza si raggiunge una pressione assoluta di 2 atm nell’acqua dolce la cui densità è pari a 1000 kg/m³

La pressione p, espressa in Pascal, è pari a 101325 · 2 = 202650 Pa
p₀  = 101325 Pa
p = p₀ + ρgh da cui h = p – p₀/ρg

Da cui sostituendo si ha: h = p – p₀/ρg = 202650 – 101325/(1000)(9.81) = 10.3 m

Questa è la profondità a cui la pressione dell’acqua raddoppia rispetto a quella atmosferica. È un concetto importante in immersioni e costruzione di dighe.

-Due punti A e B si trovano in un serbatoio d’acqua, con il punto B posto 5 m più in basso rispetto al punto A. Calcolare la differenza di pressione tra B e A

Stante una differenza di altezza si può scrivere: p = p₀ + ρgΔh
Nel caso in esame Δh = 5 m
Detto p – p₀ = Δp si ha:

Δp = (1000 kg/m³) (9.81 m/s²)( 5 m) = 49050 Pa

La pressione nel punto B è 49050 Pa maggiore che nel punto A. Si noti che questa differenza è indipendente dalla forma del recipiente ma conta solo la differenza di quota e il tipo di fluido.

-In un barometro a mercurio (densità ρ=13600 kg/m³ l’altezza del mercurio è di 0.76 m. Calcolare la pressione atmosferica in Pascal.

In un barometro a mercurio come quello usato da Torricelli un tubo lungo, chiuso da un lato, viene riempito di mercurio e poi capovolto in una vaschetta anch’essa contenente mercurio. All’interno del tubo si forma il vuoto nella parte superiore quindi la pressione p₀ è nulla.

Pertanto p = ρgh = 13600 · 9.81 · 0.76 = 101396 Pa

-Due vasi comunicanti contengono liquidi diversi: da un lato acqua (ρ₁ = 1000 kg/m³ ) dall’altro olio (ρ₂= 800 kg/m³ )

Se l’altezza della colonna d’acqua è 1 metro, quanto deve essere l’altezza della colonna d’olio affinché la pressione esercitata dal liquido nel punto di congiunzione tra i due rami sia la stessa da entrambe le parti?

Si deve verificare che p_acqua = p_olio

Ovvero p₀ + ρ_acqua g h_acqua = p₀ + ρ_olio g h_olio
Semplificando g e p₀ da ambo i membri si ha:

ρ_acqua h_acqua =  ρ_olio h_olio

da cui: h_olio = ρ_acqua h_acqua /  ρ_olio  = (1000)(1)/800 = 1.25 m

L’olio deve salire più in alto dell’acqua perché ha densità minore. Per esercitare la stessa pressione alla base, serve una colonna più alta. È lo stesso principio per cui l’olio galleggia sull’acqua: pesa meno a parità di volume ed è immiscibile con essa.

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