Esercizi sulla legge di Hooke

Si propongono esercizi sulla legge di Hooke, dovuta al fisco britannico Robert Hooke, relativi al calcolo della forza, della costante elastica e dell’allungamento della molla
Secondo la legge di Hooke esiste una regione lineare nella curva dove si riporta lo sforzo e la deformazione della molla. Ciò implica una proporzionalità diretta.

L’equazione che esprime la forza elastica esercitata da una molla sollecitata longitudinalmente, in trazione o in compressione è data da:
F = – kx

Dove F è la forza, x la lunghezza dell’allungamento o compressione e k è la costante elastica della molla espressa in N/m.

Il segno negativo che la forza di richiamo dovuta alla molla è in direzione opposta alla forza che ha provocato lo spostamento. Scritta in termini dell’intensità F della forza elastica e del modulo x dello spostamento, la legge di Hooke ha la forma

F = kx

Esercizi sulla legge di Hooke

Calcolo della forza

Tra gli esercizi sulla legge di Hooke vi è il calcolo della forza

• Calcolare la forza necessaria a comprimere una molla avente una costante elastica di 20 N/m di 25 cm

Convertendo i centimetri in metri e applicando la legge di Hooke si ha:

F = 20 N/m · 0.25 m = 5.0 N

• Un blocco di massa 2 $\mathrm{kg}$è attaccato all’estremità di una molla orizzontale avente una costante elastica di 3 N/m. Qual è la forza della molla se viene allungato di 10 cm

F = 3 N/m · 0.10 m = 0.30 N

Calcolo della costante elastica

Tra gli esercizi sulla legge di Hooke vi è il calcolo della costante elastica

• Calcolare la costante elastica di una molla se si allunga di 10 cm quando è applicata una forza di 500 N

Poiché k = F/x si ha

k = 500 N/ 0.10 m = 5000 N/m

Una massa di $\mathrm{kg}$è posta sopra una corda verticale la cui base è fissata al terreno. La molla si comprime di 2 cm. Calcolare la costante elastica e l’energia immagazzinata nella molla

In questo caso  la molla è posizionata verticalmente. In tutti gli esercizi sulla legge di Hooke, quando un oggetto di massa m poggia su una molla verticale la cui costante è x, per la seconda legge di Newton si ha: kx = mg da cui k = mg/x = 4 (9.8)/0.02 m = 2000 N/m

L’energia immagazzinata dalla molla può essere calcolata dalla formula dell’energia potenziale della molla E = ½ m x²

Da cui sostituendo i valori noti si ha: = ½ ( 2000 N/m) (0.02 m)² =  0.4 N · m  = 0.4 J

Calcolo dell’allungamento della molla

• Una molla si allunga di 5 cm se è applicata una forza di 20 N. Calcolare l’allungamento della molla se è applicata una forza di 30 N

Si calcola la costante elastica della molla che vale:

k = F/x = 20 N/0.05 m =400 N/m

L’allungamento della molla vale:

x = F/k = 30 N/400 N/m =0.075 m = 7.5 cm

Esercizio di livello difficile

• Un peso applicato a una molla provoca un allungamento di 5 cm. Aumentando di 60 N il peso posto inizialmente l’allungamento è di 15 cm maggiore. Calcolare il peso posto in origine

Detto P il peso posto in origine

Il peso posto successivamente vale  P + 60

L’allungamento iniziale è 0.05 m e quello finale è 0.05 + 0.15 = 0.20 m

Poiché nel primo caso k = P/0.05 e nel secondo caso k = P + 60/0.20

Si ha: P/0.05 = P + 60/0.20

Moltiplicando ambo i membri per 0.20:

0.20 P/0.05 = P + 60

Moltiplicando ambo i membri per 0.05:

0.20 P = 0.05 P + 3

Da cui

0.20 P – 0.05 P = 3

0.15 P = 3

Pertanto P = 3/0.15 =20 N

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