Esercizi sul moto circolare uniforme svolti e commentati

Si propongono esercizi sul moto circolare uniforme che è un tipo di moto che avviene lungo una traiettoria circolare con velocità angolare costante.

Nonostante fosse stato studiato sin dall’antichità fu solo Newton nel 1687 a dimostrare che un corpo in moto circolare uniforme è soggetto a una forza centripeta, e spiegò come tale forza derivi dalla legge di gravitazione universale nel caso dei moti planetari collegando le grandezze dinamiche (forza e massa) con quelle cinematiche (velocità e accelerazione), completando così la descrizione del fenomeno.

Grandezze nel moto circolare uniforme

Al fine di poter risolvere gli esercizi su questo tipo di moto si riportano le grandezze tipiche.

1.Periodo e frequenza

Due concetti fondamentali, spesso collegati, sono il periodo T, ovvero il tempo necessario per completare un giro, e la frequenza f, cioè il numero di giri effettuati in un secondo. Sono inversamente proporzionali tra loro:
f = 1/T e T = 1/f

2.Velocità angolare

La prima grandezza da considerare è la velocità angolare ω, che esprime quanto velocemente l’angolo viene percorso nel tempo. Essa si calcola come:
ω = θ/t

La velocità angolare può essere anche espressa in funzione del periodo o della frequenza: ω = 2πf = 2π/T.
Questa relazione deriva dal fatto che un giro completo corrisponde a un angolo di 2π radianti.

3.Velocità tangenziale

Un’altra grandezza chiave è la velocità tangenziale v, che misura la velocità lineare con cui il corpo si muove lungo la circonferenza. Essa è legata alla velocità angolare e al raggio della traiettoria secondo la formula:

v = ωr. In alternativa, conoscendo il periodo, si può usare la formula:
v = 2πr/T

4.Accelerazione centripeta

Nonostante la velocità sia costante in modulo, il corpo è soggetto a una accelerazione centripeta a_c​, necessaria a mantenerlo sulla traiettoria curva. Questa accelerazione è diretta verso il centro del cerchio e ha due espressioni equivalenti:

a_c = v²/r = ω²r

5. Lunghezza dell’arco

La lunghezza dell’arco di circonferenza percorso dal corpo può essere determinata conoscendo l’angolo descritto e il raggio: s = rθ.

Questa formula mette in relazione una grandezza lineare (lo spazio) con una angolare, confermando come nel moto circolare uniforme esista una corrispondenza diretta tra movimento angolare e spostamento nello spazio.

Insieme, queste relazioni forniscono un quadro completo e coerente del moto circolare uniforme, utile per analizzare numerosi fenomeni in fisica, ingegneria e astronomia.

Esercizi sul moto circolare uniforme

–Calcolare la velocità angolare di un punto materiale che compie 3 giri completi in 6 secondi lungo una circonferenza.

Ogni giro corrisponde a 2π radianti quindi θ = 3 · 2π = 6π rad
Poiché ω = θ/t si ha:
ω = 6π/6 s = π = 3.14 rad/s

–Determinare la velocità tangenziale di corpo si muove lungo una traiettoria circolare di raggio r = 0.5 m con velocità angolare ω=4 rad/s

Poiché v = ωr si ha: v = 4 rad/s · 0.5 m = 2 m/s

-Calcolare l’accelerazione centripeta di punto che si muove con velocità tangenziale v = 10 m/s su una traiettoria circolare di raggio r=2 m

Poiché a_c = v²/r si ha: a_c = (10 m/s)²/ 2 m = 50 m/s²

-Calcolare la lunghezza dell’arco percorso da corpo che percorre una circonferenza di raggio r = 1.2 m descrivendo uno spostamento angolare di θ =3π/4 rad

Poiché s = rθ si ha: s = 1.2 m · 3π/4 rad = 3.6 π/4 = 11.3/4 = 2.8 m

–Calcolare il periodo e la frequenza del moto di una ruota che compie 120 giri al minuto

Ricordando che 1 min = 60 secondi si ha:

f = 120/60 = 2 Hz

e T = 1/f = ½ = 0.5 s

–Una particella si muove con moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio r = 2 m completando un giro ogni T= 4 s. Calcolare:
a) la velocità angolare
b) la velocità tangenziale
c) l’accelerazione centripeta

Velocità angolare
ω = 2π/T = 2π/4 = π/2 = 1.6 rad/s

Velocità tangenziale
v = ωr = 1.6 rad/s · 2 m = 3.2 m/s

Accelerazione centripeta
a_c = v²/r = (3.2)²/2 = 5 m/s²