Equilibrio di un corpo rigido

Le condizioni per le quali si verifica l'equilibrio di un corpo rigido se visto da un sistema inerziale sono:

• Accelerazione lineare del suo centro di massa pari a zero
• Accelerazione angolare attorno a qualunque asse del sistema pari a zero

Le condizioni di equilibrio di un corpo rigido non implicano, quindi, che il corpo sia fermo rispetto all'osservatore ma che non si muova di moto accelerato.

Se il corpo è fermo è in equilibrio statico ma scegliendo un opportuno sistema di riferimento un equilibrio non statico si può trasformare in equilibrio statico

Prima condizione

La prima condizione di equilibrio di un corpo rigido è che la somma vettoriale di tutte le forze esterne agenti su di esso è nulla

Ovvero:

F_est = ma_cm = 0   (1)

dove a_cm è l'accelerazione del centro di massa

La (1) può essere scritta come:

F_est = F₁ + F₂ +… = 0

Questa equazione vettoriale equivale a tre equazioni scalari che per l'asse x vale:

F_x = F_x1+ F_x2 +… = 0

Equazioni analoghe si verificano per gli assi y e z

Esse stabiliscono che la somma delle componenti delle forze secondo ciascuna delle tre direzioni mutuamente ortogonali è nulla.

Seconda condizione

La seconda condizione di equilibrio di un corpo rigido è che per ogni asse l'accelerazione angolare α sia nulla. Poiché all'accelerazione angolare di un corpo rigido è associato un momento la seconda condizione si può esprimere come: la somma vettoriale di tutti i momenti delle forze esterne che agiscono su un corpo è nulla.

Ovvero:

τ = τ₁ + τ₂ +…

Questa equazione vettoriale equivale a tre equazioni scalari che per l'asse x vale:

τ_x = τ_1x + τ_2x +…

Equazioni analoghe si verificano per gli assi y e z. Esse stabiliscono che, all'equilibrio, la somma delle componenti lungo ciascuna delle tre direzioni mutuamente ortogonali è nulla.

Considerazioni

Nei problemi relativi si considera la massa di un corpo concentrato nel suo centro di massa. Per la seconda condizione bisogna cercare l'asse di riferimento più conveniente in modo che le equazioni siano di facile soluzione. La strategia migliore consiste nel:

• Determinare tutte le forze che agiscono sul corpo rigido
• Disegnare un diagramma considerando le forze, i punti su cui agiscono, le loro grandezze e le loro direzioni
• Posizionare l'asse di rotazione nel modo più opportuno
• Scrivere le equazioni relative

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