Equazione di Bernoulli: formule

L’equazione di Bernoulli ha un importante ruolo nella dinamica dei fluidi ed è derivabile dalle leggi della meccanica Newtoniana.
Si può ricavare dal teorema dell’energia cinetica poiché rappresenta la formulazione del teorema della conservazione dell’energia nel caso di un moto di un fluido.

Secondo il teorema dell’energia cinetica il lavoro compiuto dalla forza risultante agente su un sistema uguaglia la variazione di energia cinetica del sistema
L’equazione di Bernoulli vale i fluidi incomprimibili e non viscosi ed è applicabile solo ai moti stazionari. Il dato su cui poggia l’equazione di Bernoulli è che i fluidi incomprimibili devono accelerare quando raggiungono una sezione stretta  per mantenere una portata di volume costante. Ecco perché un fluido accelera quando attraversa un ugello stretto in un tubo flessibile.

L’unico modo per dare energia cinetica a un corpo è compiere lavoro su di esso. La pressione del fluido circostante causa una forza che può svolgere un lavoro e accelerare una porzione di fluido. Pertanto in alcuni punti lungo una linea di flusso orizzontale, le regioni con pressione più elevata hanno una velocità del fluido più bassa, mentre le regioni con pressione più bassa hanno una velocità del fluido più alta.

L’equazione di Bernoulli tiene conto, nella sua formulazione, anche delle variazioni dell’energia potenziale gravitazionale.

Formule

Esprime  una relazione tra la velocità del fluido e la sua pressione ed è espressa come:
p + ½ ρv² + ρgh = costante  (1)
dove:

• p è la pressione assoluta
• ρ è la densità del fluido
• v è la velocità del fluido
• h è l’altezza rispetto a un punto di riferimento
• g è l’accelerazione di gravità

Si noti che il termine ½ ρv² rappresenta l’energia cinetica per unità di volume. Infatti per definizione la densità è data dal rapporto tra massa e volume:

ρ = m/V
sostituendo il valore di ρ nell’espressione ½ ρv² si ha:
½ ρv²  = ½ mv²/V = energia cinetica /V

Con ragionamento analogo si ottiene che il termine ρgh = mgh/V che rappresenta l’energia potenziale per unità di volume. Si consideri un fluido durante il suo percorso dal punto 1 al punto 2 che sono due punti qualsiasi del percorso

L’equazione (1) si esprime come:

p₁ + ½ ρv₁² + ρgh₁ = p₂ + ½ ρv₂² + ρgh₂ (2) ovvero  p₁ – p₂ = ρg (h₂ – h₁) + ½ ρ(v₂² – v₁²)  (3)

Fluidi statici

Si consideri un fluido statico in cui v₁= v₂ = 0

La (2) diventa:
p₁ + ρgh₁ = p₂ + ρgh₂

Si può semplificare ulteriormente l’equazione prendendo h₂= 0. Si può infatti scegliere un’altezza pari a zero, prendendo tutte le altre altezze relative a questa. In tal caso, otteniamo
p₁ + ρgh₁ = p₂

Secondo questa equazione nei fluidi statici la pressione aumenta con la profondità in accordo con la legge di Stevino

Equazione di Bernoulli a profondità costante

Un altro caso tipico è quello in cui il fluido si muove a profondità costante ovvero h₁=h₂ = h

Dalla (2) si ha:
p₁ + ½ ρv₁² + ρgh = p₂ + ½ ρv₂² + ρgh
ovvero
p₁ + ½ ρv₁² = p₂ + ½ ρv₂²

Esercizi sull’equazione di Bernoulli

Calcolare la pressione minima necessaria affinché il sangue dal cuore giunga alla sommità della testa (distanza verticale 0.5 m) se la densità del sangue è 1040 kg/m³ 

Dati dati forniti si ha che h₂ – h₁ = 0.5 m e viene richiesta la pressione minima ovvero p₁ – p₂ . Dalla (3) sostituendo i dati noti si ha, ipotizzando che sia un fluido statico, ovvero v₁= v₂ e pertanto ½ ρ(v₂² – v₁²) = 0
p₁ – p₂ = ρg (h₂ – h₁)
p₁ – p₂ = 1040 kg/m³ · 9.8 m/s² · 0.5 m = 5 · 10³ N/m²

L’acqua scorre in una manichetta antincendio con una velocità di 1.0 m/s e una pressione di 200000 Pa. All’ugello la pressione diminuisce fino alla pressione atmosferica (101300 Pa). Utilizzare l’equazione di Bernoulli per calcolare la velocità dell’acqua che esce dall’ugello se non c’è nessuna variazione di altezza assumendo che densità dell’acqua è 1000 kg/m³ 

Poiché h₁=h₂ si ha p₁ + ½ ρv₁² = p₂ + ½ ρv₂²

Dai dati forniti: v₁= 1.0 m/s; ρ = 1000 kg/m³ ; p₁ = 200000 Pa;  p₂  = 101300 Pa. Sostituendo i dati noti nell’equazione : ½ · 1000 · 1 ²+ 200000 = ½ · 1000 · v₂²+ 101300

200500 = 500 · v₂²+ 101300 ovvero 200500 – 101300/500 = 198.4 = v₂²

da cui v₂= √198.4 = 14 m/s