Energia potenziale elastica: legge di Hooke

L’energia potenziale elastica è l’energia associata allo stato di compressione o decompressione di un sistema elastico

L’energia potenziale elastica è quindi l’energia immagazzinata a seguito dell’applicazione di una forza che deforma un oggetto elastico. L’energia è immagazzinata fino a quando la forza non è rimossa e l’oggetto ritorna alla sua forma originale, svolgendo un lavoro nel processo. La deformazione potrebbe comportare la compressione o l’allungamento dell’oggetto.

Molti articoli sono progettati per immagazzinare energia potenziale elastica, ad esempio:

• la molla di un orologio a carica
• l’arco teso di un arciere
• un trampolino piegato appena prima che un tuffatore salti

Un oggetto progettato per immagazzinare energia potenziale elastica ha un limite al carico che possono sostenere. Quando è deformato oltre il limite elastico esso non tornerà più alla sua forma originale.

Legge di Hooke e energia potenziale elastica 

Secondo la legge di Hooke dovuta al fisico, biologo, geologo e architetto inglese Robert Hooke esiste una regione lineare nella curva dove si riporta lo sforzo e la deformazione della molla. Ciò implica una proporzionalità diretta.

L’equazione che esprime la forza elastica esercitata da una molla sollecitata longitudinalmente, in trazione o in compressione è data da:
F = – kx

Dove F è la forza, x la lunghezza dell’allungamento o compressione e k è la costante elastica della molla espressa in N/m.

Il segno negativo che la forza di richiamo dovuta alla molla è in direzione opposta alla forza che ha provocato lo spostamento.

Scritta in termini dell’intensità F della forza elastica e del modulo x dello spostamento, la legge di Hooke ha la forma

F = kx (1)

Lavoro

Riportando in grafico la forza in funzione dell’allungamento per una molla ideale si ottiene un grafico come in figura:

l’area sottostante la curva indica il lavoro fatto e si può calcolare dalla definizione dell’area di un triangolo ovvero

A = b · h/2
Nel caso di una molla

A = F · x/2

Sostituendo a F il valore della (1)

Si ha A = k · x²/2

Poiché per una molla ideale non è dissipata energia si ha che l’energia potenziale elastica può essere calcolata dal lavoro fatto pertanto
U = k · x²/2

Poiché la variazione dell’energia potenziale di un oggetto tra due posizioni è uguale al lavoro che deve essere svolto per spostare l’oggetto da un punto all’altro, il calcolo dell’energia potenziale equivale al calcolo del lavoro. Poiché la forza richiesta per allungare una molla cambia con la distanza, il calcolo del lavoro comporta la risoluzione dell’integrale

Esempi

Una molla è tirata con una forza di 300 N per 0.6 m. Calcolare l’energia immagazzinata dalla molla

Dalla legge di Hooke si calcola la costante della molla:
k = F/x = 300 N/0.6 m = 500 N/m
da cui
U = k · x²/2 = 500(0.6)²/2 = 90 J

Una molla di un camion ha una costante elastica k di 5.0 · 10⁴ N/m. Quando il camion è scarico si trova a 0.80 m sopra la strada. Quando è carico di merci, si abbassa a 0.65 m sopra il terreno. Calcolare quanta energia potenziale è immagazzinata nelle quattro molle?

La variazione di altezza è pari a 0.80 – 0.65 = 0.15 m che rappresenta il valore x.
Sostituendo i valori noti nell’equazione U = k · x²/2 si ha: (5.0 · 10⁴ N/m) (0.15 m)²/2 = 563 N· m = 563 J

Un arciere è in grado di tendere un arco lungo con una forza fino a 300 N, estendendo la corda di 0.60 m. Supponendo che l’arco si comporti come una molla ideale, calcolare la costante elastica che consente all’arciere di sfruttare tutta la sua forza e l’energia potenziale immagazzinata nell’arco quando viene teso

Utilizzando la legge di Hooke possiamo trovare la costante elastica:
k = F/x = 300 N/ 0.60 m = 500 N/m

L’energia potenziale elastica è data da:
U = k · x²/2 = 500 N/m ( 0.60 m)²/2 = 90 J

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