Energia cinetica: formule, esempi

L’energia associata allo stato di moto di un corpo è detta energia cinetica ed è il lavoro necessario per accelerare un corpo da una velocità iniziale nulla a una certa velocità.

Per portare un corpo da velocità nulla a una certa velocità bisogna applicare una forza con trasferimento di energia. Dopo che è stata applicata la forza il corpo raggiunge una velocità costante che dipende non solo dal moto del corpo ma anche dalla massa.

L’energia cinetica può essere trasferita tra oggetti e trasformata in altri tipi di energia. Ad esempio, un corpo può scontrarsi con un corpo in stato di quiete. Dopo la collisione, parte dell’energia cinetica del corpo può essere stata trasferita a quello fermo o essere trasformata in qualche altra forma di energia.

Lo scienziato tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz fu il primo a definire l’energia cinetica come il prodotto della massa di un oggetto per il quadrato della sua velocità

Formulazione

Dal teorema dell’energia cinetica e dalla seconda legge di Newton si ha:

W = ΔK = F ·ΔS = m ·a · ΔS  (1)

Dalle equazioni cinematiche si ha:
v² – v₀²= 2 · a·Δ S
da cui a· Δ S = v² – v₀²/2 ·a
sostituendo questo valore nella (1)
ΔK = m ·a · (v² – v₀²/2 ·a) = mv² – mv₀²/2

Poiché la velocità iniziale v₀ è nulla

K = mv²/2

L’unità di misura, come il lavoro e l’energia potenziale, è il Joule.

Considerazioni

L’energia cinetica è direttamente proporzionale alla massa e al quadrato della velocità ed è una quantità scalare. Ciò implica che se un corpo di massa m raddoppia la sua velocità l’energia cinetica quadruplica.

Quindi, ad esempio, per un corpo di massa 1 kg che viaggia a 18 m/s si ha

K = 1 (18)²/2=162 J

Per lo stesso corpo con velocità di 36 m/s:

K = 1(36)²/2=648 J

Pertanto raddoppiando la velocità il valore di  K è pari a 648/162 = 4 volte a quello in cui la velocità è dimezzata.

Il valore di K è sempre positivo o uguale a zero. Infatti anche se la velocità ha verso negativo poiché in K risulta elevata al quadrato si ha un valore positivo

L’energia cinetica non è una grandezza vettoriale. Infatti un corpo di massa m che procede da destra a sinistra con una velocità v ha lo stesso valore di K  se il corpo procede lungo la stessa direzione ma con verso opposto.

Formule derivate e esercizi

Dall’equazione:
K = mv²/2

Si può ricavare la massa: m = 2K /v²  e la velocità: v = √2 K/m

Calcolare la massa di un oggetto che si muove con una velocità di 35 m/s e ha un’energia cinetica di 1500 J
Dalla formula m = 2K /v² sostituendo i dati noti si ha: m = 2 (1500)/( 35)²= 2.4 kg

Calcolare la velocità di un oggetto di massa 4.0 kg se ha una energia cinetica pari a 50 J
Dalla formula v = √2 K/m sostituendo i dati noti si ha: v = √ 2(50)/4.0 = 5.0 m/s

Energia cinetica rotazionale. Esercizi

L’energia cinetica di un oggetto rotante è analoga a quella lineare e può essere espressa in termini di momento di inerzia e velocità angolare.

Un oggetto ha energia cinetica quando si muove: questo movimento può essere lo spostamento del centro di massa dell’oggetto, oppure può essere l’oggetto che ruota attorno a se stesso. Una trottola perfetta non si muove da un lato all’altro quando gira abbastanza velocemente. Il suo centro di massa non si muove, quindi, dalla  definizione, non dovrebbe avere energia cinetica.

Tuttavia, ogni elemento di massa attorno all’asse di rotazione avrà una certa velocità. Pertanto, la trottola ha una energia cinetica di tipo rotazionale:
K_rot = ½ Iω² dove I è il momento di inerzia e ω è la velocità angolare.

Il momento di inerzia, I, è una misura della resistenza di un oggetto alle variazioni della sua velocità di rotazione e dipende sia dalla massa dell’oggetto che dalla distribuzione di massa attorno all’asse di rotazione. La velocità angolare, ω, è la velocità a cui l’oggetto ruota.

Un esempio di un corpo rotante è una mola elettrica azionata da un motore. Vengono emesse scintille e vengono generati rumore e vibrazioni mentre la mola svolge il suo lavoro. Questo sistema ha un’energia considerevole, parte della quale sotto forma di calore, luce, suono e vibrazione ma, la maggior parte di questa energia è sotto forma di energia cinetica rotazionale. Esempi di altri sistemi sono le pale di un ventilatore, la rotazione della Terra intorno al proprio asse e le pale rotanti di una turbina eolica

È importante notare che un oggetto può avere sia energia cinetica traslazionale (lineare) che rotazionale. Ad esempio, una palla che rotola ha energia cinetica traslazionale dovuta al suo moto lineare, e rotazionale dovuta al suo moto rotatorio. L’energia cinetica totale della palla è la somma di queste due forme di energia.

Calcolare l’energia cinetica rotazionale di un volano che gira a una velocità angolare di 100 rad/s se il suo momento di inerzia è 0.5 kgm²
Dalla formula K_rot = ½ Iω² si ha, sostituendo i valori noti K_rot = ½ (0.5) (100)² = 2500 J

Una pattinatrice sul ghiaccio inizia una rotazione con le braccia tese ai lati quindi muove le braccia in modo che il suo momento di inerzia diminuisca di un fattore 2. Supponendo che l’attrito sia nulla valutare la variazione di energia cinetica

Detto L₁ il momento angolare iniziale si ha L₁ = I₁ω₁. Il momento angolare finale L₂ è pari a (I₁ /2) ω₂. Se sul sistema non agiscono forze esterne allora il momento angolare è conservato pertanto si ha: I₁ω₁ =(I₁ /2) ω₂

Detto L₁ il momento angolare iniziale si ha L₁ = I₁ω₁. Il momento angolare finale L₂ è pari a (I₁ /2) ω₂. Se sul sistema non agiscono forze esterne allora il momento angolare è conservato pertanto si ha:
I₁ω₁ =(I₁ /2) ω₂ da cui si ottiene che ω₂ = 2 ω₁

L’energia cinetica iniziale K₁ è data da: K₁ = ½ I₁ (ω₁)² mentre quella finale è data da:
K₂ = ½ (I₁/2) (ω₂)² = ¼ I₁(2 ω₁)² = ¼ I₁ ( 4 ω₁²) = I₁ ω₁²
Confrontando i valori di K₁ e K₂ si ha che K₂ = 2 K₁ pertanto l’energia cinetica finale è pari al doppio di quella iniziale

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