Componenti di un vettore
Le componenti di un vettore sono espresse in un sistema di coordinate cartesiane.
Un vettore è rappresentato da un segmento orientato la cui lunghezza è proporzionale al modulo e da una freccia che ne indica la direzione.
In un sistema di coordinate cartesiane in un piano, un punto è descritto da una coppia di coordinate x e y
In modo simile, un vettore in un piano è descritto da una coppia delle sue coordinate vettoriali. La coordinata x del vettore è chiamata la sua componente x e la coordinata y del vettore
Nel sistema cartesiano, le componenti di un vettore x e y sono le proiezioni ortogonali di questo vettore sugli assi x e y rispettivamente.
In questo modo, seguendo la regola del parallelogramma per l’addizione vettoriale, ogni vettore su un piano cartesiano può essere espresso come somma vettoriale delle sue componenti vettoriali
Rappresentazione grafica
Sia dato il vettore A rappresentato nel piano cartesiano. Si considerino le proiezioni del vettore A sull’asse delle ascisse e su quella delle ordinate ovvero Ax e Ay che costituiscono le componenti del vettore
Il vettore A rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti Ax e Ay.
Per il teorema di Pitagora si può scrivere:
A2 = Ax2 + Ay2
Da cui A = √ Ax2 + Ay2
Se θ è l’angolo tra l’asse delle ascisse e il vettore A si ha, dalla trigonometria, che Ay = A sen θ e Ax = A cos θ
Pertanto si ha che:
tg θ = Ay / Ax
Si può quindi conoscere l’angolo θ conoscendo Ay e Ax:
θ = arctan (Ay / Ax)
Esercizi
- Una forza di 250 N agisce con un angolo di 30° rispetto all’asse delle ascisse. Determinare le componenti del vettore forza
Ay = A sen θ = sen 30° = 250 · 0.5 = 125 N
Ax = A cos θ = cos 30° = 250 · 0.866 = 216.5 N
- Un corpo di muove del corpo da un punto (6.0 cm; 1.6 cm) a un punto (2.0 cm; 4.5 cm). Calcolare il modulo e la direzione del corpo
Le componenti del vettore sono pari rispettivamente a:
Ax = 2.0 – 6.0 = – 4.0 cm
Ay = 4.5 – 1.6 = 2.9 cm
Da cui A = √ Ax2 + Ay2 = A = √ (-4.0)2 + (2.9)2 = 4.9 cm
Per calcolare la direzione:
tg θ = Ay / Ax = 2.9/-4.0 = – 0.725
da cui θ = arctan -0.725 = – 35.9°