9 Esercizi sul teorema di Gauss
Si propongono 9 esercizi sul teorema di Gauss svolti e commentati. Il teorema di Gauss per il campo elettrico è di fondamentale importanza nell’elettrostatica, poiché consente di calcolare il campo elettrico generato da distribuzioni di carica simmetriche in modo semplice.
Attraverso una scelta oculata della superficie gaussiana, il teorema permette di risolvere numerosi problemi legati a sfere, cilindri, piani infiniti e conduttori in equilibrio elettrostatico. Per la risoluzione degli esercizi sul teorema di Gauss elaborato dal matematico, astronomo e fisico tedesco Johann Friedrich Carl Gauss è necessario conoscere alcune equazioni fondamentali.
Le equazioni fondamentali necessarie per risolvere gli esercizi sul teorema di Gauss possono essere così riassunte:
La forma matematica del teorema di Gauss per il campo elettrico si esprime attraverso un’integrale di superficie secondo cui ΦE, flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa e dato da:
dove:
E è il campo elettrico vettoriale
dA è l’elemento infinitesimo di superficie, orientato secondo la normale uscente
q è è la carica totale racchiusa all’interno della superficie
εo è la costante dielettrica del vuoto
Il teorema di Gauss si rivela particolarmente efficace quando viene applicato a distribuzioni di carica dotate di simmetria, poiché consente di determinare il modulo del campo elettrico senza dover eseguire necessariamente complicate integrazioni vettoriali.
Simmetria sferica
Nel caso di una distribuzione di carica con simmetria sferica, come, ad esempio, quella di una carica puntiforme o di una sfera uniformemente carica, si utilizza come superficie gaussiana una sfera concentrica. Poiché il campo elettrico è radiale e ha uguale intensità in ogni punto della superficie, il flusso si semplifica notevolmente in quanto l’integrale di superficie diventa pari a E · 4πr2 = q/ εo da cui si ricava:
E = q/4πr2 εo
che coincide con la legge di Coulomb per il campo generato da una carica puntiforme ed è valida quando il punto si trova fuori dalla sfera e la carica racchiusa è tutta la carica totale ovvero r > R. Questa espressione è identica a quella del campo generato da una carica puntiforme: da fuori, una distribuzione sferica di carica si comporta come se tutta la carica fosse concentrata nel centro.
Quando il punto si trova all’interno di una sfera uniformemente carica, la carica racchiusa è solo quella contenuta nel volume interno al raggio r e quindi quando r < R si verifica:
q = 4 πr3ρ/3 dove ρ è la densità di carica volumetrica.
L’espressione della densità di carica volumetrica, indicata con la lettera ρ, che ha unità di misura pari a C/m3, si ottiene dal rapporto tra la carica elettrica distribuita in un corpo e il volume V in cui essa è distribuita ovvero:
ρ=q/V
Questa formula è valida quando la distribuzione è uniforme, ovvero la carica è distribuita in modo costante in tutto il volume.
Applicando il teorema di Gauss: E · 4πr2 = q/εo e sostituendo a q il valore ricavato si ottiene: E = ρ · r/ 3εo
Distribuzione lineare
Per una distribuzione lineare di carica (come un filo infinitamente lungo carico), la superficie gaussiana adatta è un cilindro coassiale con l’asse del conduttore. Grazie alla simmetria, il campo elettrico ha modulo costante e direzione radiale lungo la superficie laterale del cilindro. Il flusso diventa:
E (2πrL) = λL/ εo
dove λ è la densità lineare di carica, e L l’altezza del cilindro da cui si ottiene:
E = λ/2πr εo
Simmetria planare
Una distribuzione di carica con simmetria planare, come un piano infinito uniformemente carico, può essere trattata scegliendo una superficie gaussiana a forma di cilindro (“pillbox”) che interseca il piano. Il campo è perpendicolare al piano e ha lo stesso modulo su entrambe le facce del cilindro:
2 E · A = σA/εo
dove σ è la densità superficiale di carica. Si ottiene: E = σ/2εo
Si ottiene pertanto un campo costante, indipendente dalla distanza dal piano.
Esercizi sul teorema di Gauss svolti e commentati
La conoscenza delle equazioni fondamentali è indispensabile per risolvere gli esercizi sul teorema di Gauss
-Una sfera conduttrice di raggio R = 0.10 m ha una carica totale Q = 1.0 · 10-6 C. Calcolare il campo elettrico E generato dalla sfera a 0.20 m (εo = 8.85 · 10-12 F/m)
La sfera si comporta come una carica puntiforme:
E = q/4πr2 εo = 1.0 · 10-6 /4 · 3.14·(0.20)2(8.85 · 10-12) = 2.25 · 105 N/C
-Un filo infinitamente lungo ha una densità lineare di carica λ pari a 2.0 · 10-6 C/m. Calcolare il campo elettrico a una distanza r = 0.03 m dal filo.
Applicando il teorema di Gauss con una superficie cilindrica coassiale si ha:
E = λ/2πrεo
Sostituendo i valori si ha:
E = 2.0 · 10-6 /2 · 3.14 · 0.03 · 8.85 · 10-12 = 1.20 · 10-6 N/C
-Un piano infinito ha una densità superficiale di carica σ pari a 1.0 · 10-8 C/m2. Calcolare il campo elettrico generato dal piano in un punto qualsiasi dello spazio.
Per un piano infinito carico si ha E = σ/2εo = 1.0 · 10-8/2 · 8.85 · 10-12 = 564 N/C
-Una piramide a base quadrata di 8 m e di altezza 4 m è posta in un campo elettrico verticale uniforme di intensità 35 N/m. Calcolare il flusso elettrico totale che attraversa le quattro facce della piramide supponendo che non vi sia alcuna carica all’interno della piramide
Poiché all’interno della piramide non è presente alcuna carica, il flusso totale per l’intera figura deve essere 0. Poiché il campo è verticale, deve esserci una quantità di flusso uguale ma opposta dalla base della piramide a quella delle facce.
Φ = E · A = 35 N/C · (8 · 8) = 2240 N·m2/C
-In un cubo di lato 12 cm è posta al centro una carica di 6.0 μC. Calcolare il flusso elettrico attraverso una delle facce del cubo.
Il flusso elettrico che attraversa il cubo è diverso da zero perché contiene cariche, quindi ci sono più linee di campo elettrico che escono da esso rispetto a quelle che entrano.
Φ = q/ε0 = 6.0 · 10-6 C/8.85 · 10-12 = 6.8 · 105 N·m2/C
Questo valore è il flusso elettrico totale. Poiché viene richiesto il flusso elettrico attraverso una delle facce del cubo., tenendo presente che il cubo ha 6 facce si ha:
Φ = 6.8 · 105 /6 = 1.1 · 105 N·m2/C
-Calcolare il campo elettrico sulla superficie di una sfera di raggio 0.333 m se al suo interno è presente una carica pari a 1969 nC
Dal teorema di Gauss: Φ = q/ε0 =EsupA. Pertanto Esup= q/ ε0 A
dove Esup è il campo elettrico sulla superficie della sfera e A è l’area superficiale della sfera.
A = 4πr2 = 4 · 3.14 · (0.333 m)2 = 1.39 m2
Sostituendo i termini noti si ha: Esup = 1969· 10-9 C/8.85 · 10-12· 1.39 = 1.6 · 105 N/C
-Una sfera di raggio 3 m ha una distribuzione uniforme della carica pari a 3 C/m3 . Calcolare il campo elettrico nel punto che dista 4 m dalla superficie della sfera
La superficie gaussiana che ingloba la sfera ha raggio 3 + 4 = 7 m
Il teorema di Gauss afferma che la carica totale racchiusa in una superficie gaussiana è pari al prodotto del campo elettrico all’interno della superficie moltiplicato per la superficie stessa: q/ε0 = E · A = E (4πr2)
La carica totale q è pari a 4πr2: q = 4 · 3.14 · (3)2 = 113
Pertanto 113 /8.85 · 10-12 = 1.3 · 1013
Da cui 1.3 · 1013 = E (4πr2)
in cui r è il raggio della superficie gaussiana:
E = 1.3 · 1013 /4 · 3.14(7)2 = 2.1· 1010 N/C
-Un conduttore sferico ha raggio pari a 0.04 m. Sulla superficie è distribuita una carica uniforme con densità di carica superficiale σ pari a 6.5 nC/m2. Calcolare l’intensità del campo elettrico sulla superficie di questo conduttore
Secondo il teorema di Gauss l’intensità del campo elettrico è uguale al rapporto tra carica racchiusa rispetto al prodotto della costante dielettrica nel vuoto e l’area della superficie gaussiana: E = q/εoA. Prendendo una superficie gaussiana sulla superficie della sfera stessa si ha che quantità di carica è data dal prodotto tra la densità di carica superficiale σ e l’area della sfera.
q = σ A
Da cui: E = q/εoA = σ A/ εoA = σ/εo
sostituendo nell’espressione i valori noti si ha:
E = 6.5 · 10-9 C/m2 / 8.85 · 10-12 F/m = 734 N/C
-Una sfera di materiale isolante, di raggio r pari a 0.12 m, contiene una carica totale q pari a 1.17 · 10-7 C distribuita in modo uniforme. Calcolare il modulo del campo elettrico E all’interno della sfera.
Il volume della sfera è pari a V = 4πr3/3 = 4 · 3.14 · (0.12)3/3 = 0.0335 m3
Noto il volume possiamo calcolare la densità volumica ρ:
ρ = q/V = 1.17 · 10-7 C/0.0335 m3 = 3.49 · 10-6 C/m3
Poiché r < R si ha che: E = ρ · r/ 3εo
sostituendo i valori noti:
E = 3.49 · 10-6 · 0.12 / 3(8.85 · 10-12) = 1318 N/C
Il campo è diretto radialmente verso l’esterno e cresce linearmente con la distanza r dal centro.
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il 13 Maggio 2025