6 esercizi sui condensatori

Sono proposti 6 esercizi sui condensatori, utili per approfondire la comprensione dei concetti fondamentali legati a questi dispositivi elettrici. Il termine condensatore fu usato da Alessandro Volta nel 1780 per riferirsi a un dispositivo, simile al suo elettroforo, da lui sviluppato per misurare l’elettricità.

Gli esercizi sui condensatori possono coprire vari aspetti, tra cui la capacità, la carica, la differenza di potenziale, l’energia immagazzinata, e configurazioni in serie e in parallelo. Ogni problema è pensato per mettere in pratica le leggi della fisica e dell’elettrostatica applicate ai condensatori.

Alla base del funzionamento di un condensatore vi è la capacità di accumulare energia elettrica attraverso la separazione spaziale delle cariche. Un condensatore è costituito da due conduttori, detti armature, separati da un materiale isolante noto come dielettrico.

Quando si applica una differenza di potenziale tra le armature, gli elettroni vengono spinti a fluire da una all’altra, dando origine a una distribuzione di carica: una delle armature si carica negativamente, mentre l’altra acquista una carica uguale e contraria. Questa separazione di carica genera un campo elettrico tra le armature e l’energia associata al campo viene immagazzinata nel dielettrico.

Prerequisiti per risolvere gli esercizi sui condensatori

Per affrontare correttamente gli esercizi sui condensatori proposti, è utile conoscere i seguenti concetti fondamentali.

Il comportamento del condensatore può essere descritto dalla relazione fondamentale della capacità:

C = ε A/d

C è la capacità del condensatore, misurata in farad (F),
ε è la permittività assoluta del dielettrico, che tiene conto della costante dielettrica relativa ε_r e della permittività del vuoto ε₀
A è l’area delle armature,
d è la distanza che separa le armature.

La capacità indica la quantità di carica che il condensatore può accumulare per ogni volt di differenza di potenziale applicato:

Q=C⋅V
dove Q è la carica immagazzinata e V è la tensione ai capi del condensatore.

L’energia accumulata da un condensatore può essere calcolata conoscendo la sua capacità e la tensione applicata. La formula che descrive l’energia immagazzinata è:
E = ½ CV²

E è l’energia immagazzinata (in joule),
C è la capacità del condensatore (in farad),
V è la tensione applicata ai suoi capi (in volt).

Composizione di condensatori in serie e in parallelo

La combinazione di più condensatori può avvenire secondo due configurazioni principali ovvero in serie e in parallelo.

Quando i condensatori sono collegati in serie, condividono la stessa carica Q, ma la tensione totale si suddivide tra di essi.
Formula della capacità equivalente:

1/C_eq=1/C₁+1/C₂+⋯+1/C_n

le tensioni sono date da: V_i= Q/C_i

Quando i condensatori sono collegati in parallelo, ciascuno di essi è sottoposto alla stessa tensione, ma la carica totale si somma:
C_eq​= C₁​+ C₂​+⋯+ C_n​

La carica totale Q è data da: Q = Q₁​ + Q₂​ +⋯+Q_n​

6 esercizi sui condensatori

1: Capacità di un condensatore piano

Un condensatore piano ha una superficie di A=0.020 m² e una distanza tra le armature di d=1,0 mm. Calcolare la capacità se lo spazio è vuoto in cui ε₀​ = 8.85·10⁻¹² F/m.

d=1.0 mm = 0.0010 m

Sostituendo nella formula C = ε A/d in cui ε = ε₀
Si ha che:

C = (8.85·10⁻¹² F/m) (0.020 m²)/ 0.0010 m = 1.8 · 10^-10 F

2: Carica e tensione

Un condensatore con una capacità di 10 μF è caricato a 12 V. Calcolare la carica sulle armature e l’energia immagazzinata

C = 10 μF = 1.0 · 10^-5 F = 1.0 · 10^-5 Coulomb/Volt

Poiché Q=C⋅V  si ha:

Q = (1.0 · 10^-5 C/V) 12 V = 1.2 · 10⁻⁴ C

La formula che descrive l’energia immagazzinata è:
E = ½ CV²

Sostituendo i dati noti si ha:
E = ½ (1.0 · 10⁻⁵ C)(12 V)² = 7.2 · 10^-4 J

3: Collegamento in parallelo

Due condensatori, C₁ =4 μF e C₂=6 μF sono collegati in parallelo e connessi a un generatore da 9 V. Determinare:

-La capacità equivalente
-La carica totale
-La carica su ciascun condensatore

La formula capacità equivalente per un collegamento in parallelo è: C_eq​= C₁​+C₂
Pertanto C_eq​= 4 μF + 6 μF = 10 μF

Carica totale:

Il valore della carica totale è dato da:
Q_tot = C_eq⋅V=10 μF ⋅9 V =90 μC

Carica su ciascun condensatore:

Per calcolare la carica su ciascun condensatore, nel caso di un collegamento in parallelo, si utilizza la formula: Q_i = C_i⋅V

Sostituendo i dati noti nella formula generale si ottiene:

Q₁ = C₁⋅V= 4⋅9= 36 μC

Q₂ = C₂⋅V= 6⋅9= 54 μC

4: Collegamento in serie

Due condensatori C₁=3 μF e C₂=6 μF sono collegati in serie e sottoposti a una differenza di potenziale di V=12 V
Determinare:

-La capacità equivalente
-La carica su ciascun condensatore
-La tensione ai capi di ciascun condensatore

La capacità equivalente in un collegamento in serie è data da: 1/C_eq=1/C₁+1/C₂
Pertanto, nel caso in esame si ha:
1/C_eq = 1/3 + 1/6 = 0.5 e C_eq = 1/0.5 = 2 μF

La carica, uguale per entrambi i condensatori in serie, è data da:
Q= C_eq​⋅V=2⋅12=24 μC

La tensione su ciascun condensatore è data dalla formula generale V_i= Q/C_i
da cui, sostituendo i dati noti si ottiene V₁ = 24 μC/3 μF = 8 V e V₂ = 24 μC/6 μF = 4 V

5: Condensatore con dielettrico

Un condensatore piano ha C₀=100 pF nel vuoto. Si inserisce un dielettrico con costante dielettrica ε_r=4.0
Calcolare la nuova capacità.

La formula da utilizzare è: C = C₀ · ε_r

Sostituendo i dati noti si ottiene C = 100 pF · 4.0 = 400 pF

6: Energia immagazzinata e variazione

Un condensatore di 5.0 μF è caricato a 10 V quindi viene disconnesso dalla sorgente e viene inserito un dielettrico con costante dielettrica ε_r= 2

Calcolare:

-L’energia iniziale
-La nuova energia dopo l’inserimento del dielettrico
-Il rapporto tra energia finale e iniziale

Calcolo dell’nergia iniziale (a C₀, V₀​):

5.0 μF = 5.0 · 10^-6 F

E = ½ CV² = ½ (5.0 · 10^-6 F) (10V)² = 2.5 · 10^-4 J

Dopo l’inserimento del dielettrico:

Poiché il condensatore è isolato, la carica resta costante. Quindi:
εr ​⋅C₀ ​= 10 μF = 1.0 · 10^-5 F

Q = C₀⋅V₀=5.0 ⋅10=50 μC

V = Q/C = 50 μC/10 μF = 5 V

E = ½ CV² = ½ (1.0 · 10^-5 F)(5 V)² = 1.25 · 10^-4 J

Rapporto:

Il rapporto tra energia finale e iniziale è dato da: E/E₀ = 1.25 · 10^-4 J/2.5 · 10^-4 J = 0.5

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