In un solido cristallino si definisce cella unitaria la più piccola unità ordinata ripetitiva in grado di generare la struttura cristallina. Con il termine fattore di impacchettamento APF ( Atomic packing factor) si intende la frazione del volume della struttura cristallina occupata dagli atomi:
APF = Natomi Vatomo/ Vcella unitaria
Essendo Natomi il numero di atomi presenti nella cella unitaria; Vatomo il volume di ogni atomo e Vcella unitaria il volume occupato dalla cella unitaria.
Nel caso di un reticolo esagonale a massimo impacchettamento (hpc) il numero di atomi per cella unitaria è pari a 2; nel reticolo cubico a facce centrate (fcc) il numero di atomi è pari a 4 mentre nel reticolo cubico a corpo centrato (bcc) il numero di atomi è pari a 2.
Dalle dimensioni della cella unitaria è possibile calcolare il volume: V = a3
Conoscendo il numero di atomi presenti nella cella unitaria e la massa di ciascun atomo è possibile calcolare la massa della cella unitaria:
Massa della cella unitaria = numero di atomi ∙ massa dell’atomo ed inoltre è possibile calcolare la densità che è data dal rapporto tra la massa della cella unitaria e il volume della cella unitaria.
Esercizi svolti
1) Un elemento avente massa atomica 60 ha una cella unitaria cubica a facce centrate. Lo spigolo della cella è lungo 400 pm. Trovare la densità dell’elemento.
Convertiamo i picometri in centimetri tenendo conto che 1 pm = 10-12 m
400 pm = 400 ∙ 10-10 cm
Il volume della cella unitaria è pertanto V = (400 ∙ 10-10 cm)3 = 6.40 ∙ 10-23 cm3
Dovendo trovare la densità dobbiamo quindi trovare la massa della cella unitaria avendone già trovato il volume.
La massa della cella unitaria è data da:
Massa della cella unitaria = numero di atomi ∙ massa dell’atomo
Il numero di atomi nel reticolo cubico a facce centrate (fcc) è pari a 4. Dobbiamo quindi conoscere la massa dei quattro atomi. Tenendo presente che 1 mole dell’elemento pesa 60 g e che 1 mole è costituita da 6.022 ∙ 1023 atomi si ha:
massa della cella = 4 atomi ∙ 60 g / 6.022 ∙ 1023 atomi = 3.99 ∙ 10-22 g
la densità è data dal rapporto tra massa e volume:
d = 3.99 ∙ 10-22 g/ 6.40 ∙ 10-23 cm3 = 6.23 g/cm3
2) Un elemento ha una cella unitaria cubica a corpo centrato. Lo spigolo della cella è lungo 288 pm. La densità dell’elemento è pari a 7.2 g/cm3. Calcolare il numero di atomi presenti in 208 g dell’elemento
288 pm = 288 ∙ 10-10 cm
Il volume della cella unitaria è pertanto V = (288 ∙ 10-10 cm)3 = 2.39 ∙ 10-23 cm3
Il volume di 208 g dell’elemento = massa/ densità = 208 g/ 7.2 g/cm3 = 28.88 cm3
Il numero di celle unitarie corrispondenti a tale volume è = 28.88 cm3/ 2.39 ∙ 10-23 cm3= 1.21 ∙ 1024
Poiché nel reticolo cubico a corpo centrato (bcc) il numero di atomi è pari a 2 si ha:
2 ∙ 1.21 ∙ 1024 = 2.42 ∙ 1024 atomi
3) Il boroidruro di litio LiBH4 cristallizza secondo un sistema ortorombico con 4 molecole per cella unitaria. La dimensioni della cella unitaria sono a = 6.81 Å, b = 4.43 Å e c = 7.17 Å. Calcolare la densità del cristallo.
Il peso molecolare di LiBH4 è di 22 g/mol
La massa della cella unitaria è = 4 ∙ 22 g/mol / 6.022 ∙ 1023 = 1.46 10-22 g
Il volume della cella unitaria è dato da V = a ∙ b ∙ c = ( 6.81 ∙ 10-8 cm)(4.43 ∙ 10-8 cm) ( 7.17 ∙ 10-8 cm) = 2.16 ∙ 10-22 cm3
La densità è data da d = m/V = 1.46 10-22 g/ 2.16 ∙10-22 cm3 = 0.676 g/cm3
4) L’argento cristallizza in un sistema cubico a facce centrate e lo spigolo della cella è lungo 408.6 pm. Sapendo che la densità dell’argento è 10.50 g/cm3 calcolare: a) la massa di un atomo di argento; b) il numero di Avogadro
408.6 pm = 408.6 ∙ 10-10 cm
Il volume della cella unitaria è V = (408.6 ∙ 10-10 cm)3 = 6.822 ∙ 10-23 cm3
La massa della cella unitaria è data da: m = d ∙ V = 10.50 g /cm3 ∙ 6.822 ∙ 10-23 cm3 =7.163 ∙ 10-22 g
Poiché nel reticolo cubico a facce centrate (fcc) il numero di atomi è pari a 4 la massa di un atomo è pari a:
m = 7.163 ∙ 10-22 g / 4 = 1.791 ∙ 10-22 g
il peso di una mole di Argento è 107.87 g/mol
il numero di Avogadro vale quindi N = 107.87 g/mol/ 1.791 ∙ 10-22 g = 6.023 ∙ 1023
5) Il platino cristallizza secondo un reticolo cubico a facce centrate e ha una densità di 21.45 g/cm3 e il suo peso atomico è pari a 195.08 g/mol. Calcolare la lunghezza della spigolo della cella.
La massa di un atomo è pari a: m = 195.08 g/ 6.022 ∙ 1023 = 3.239 ∙ 10-22 g
Poiché nel reticolo cubico a facce centrate (fcc) il numero di atomi è pari a 4 la massa della cella unitaria è data da: massa della cella unitaria = 3.239 ∙ 10-22 g ∙ 4 = 1.296 ∙ 10-21 g
Il volume della cella unitaria è dato da: V = m/d = 1.296 ∙ 10-21 g/ 21.45 g/cm3 = 6.042 ∙ 10-23 cm3
Da cui la lunghezza dello spigolo della cella è dato da: l = ∛6.042 ∙ 10-23 cm3= 3.924 ∙ 10-8 cm
