In un solido cristallino si definisce cella unitaria la più piccola unità ordinata ripetitiva in grado di generare la struttura cristallina. Un reticolo cristallino detto reticolo di Bravais dal francese Auguste Bravais che per primo lo descrisse nel 1848 è un insieme infinito di punti discreti aventi disposizione geometrica sempre uguale in tutto lo spazio.
Per fattore di impacchettamento APF ( Atomic packing factor) si intende la frazione del volume della struttura cristallina occupata dagli atomi:
APF = Natomi Vatomo/ Vcella unitaria
Essendo Natomi il numero di atomi presenti nella cella unitaria; Vatomo il volume di ogni atomo e Vcella unitaria il volume occupato dalla cella unitaria.
Nel caso di un reticolo esagonale a massimo impacchettamento (hpc) il numero di atomi per cella unitaria è pari a 2; nel reticolo cubico a facce centrate (fcc) il numero di atomi è pari a 4 mentre nel reticolo cubico a corpo centrato (bcc) il numero di atomi è pari a 2.
Dalle dimensioni della cella unitaria è possibile calcolare il volume: V = a3
Conoscendo il numero di atomi presenti nella cella unitaria e la massa di ciascun atomo è possibile calcolare la massa della cella unitaria:
Massa della cella unitaria = numero di atomi ∙ massa dell’atomo ed inoltre è possibile calcolare la densità che è data dal rapporto tra la massa della cella unitaria e il volume della cella unitaria.
Esercizi svolti sulla struttura cristallina
1) Un elemento avente massa atomica 60 ha una cella unitaria cubica a facce centrate. Lo spigolo della cella è lungo 400 pm. Trovare la densità dell’elemento.
Convertiamo i picometri in centimetri tenendo conto che 1 pm = 10-12 m
400 pm = 400 ∙ 10-10 cm
Il volume della cella unitaria è pertanto V = (400 ∙ 10-10 cm)3 = 6.40 ∙ 10-23 cm3
Dovendo trovare la densità dobbiamo quindi trovare la massa della cella unitaria avendone già trovato il volume.
La massa della cella unitaria è data da:
Massa della cella unitaria = numero di atomi ∙ massa dell’atomo
Il numero di atomi nel reticolo cubico a facce centrate (fcc) è pari a 4. Dobbiamo quindi conoscere la massa dei quattro atomi. Tenendo presente che 1 mole dell’elemento pesa 60 g e che 1 mole è costituita da 6.022 ∙ 1023 atomi si ha:
massa della cella = 4 atomi ∙ 60 g / 6.022 ∙ 1023 atomi = 3.99 ∙ 10-22 g
la densità è data dal rapporto tra massa e volume:
d = 3.99 ∙ 10-22 g/ 6.40 ∙ 10-23 cm3 = 6.23 g/cm3
2) Un elemento ha una cella unitaria cubica a corpo centrato. Lo spigolo della cella è lungo 288 pm. La densità dell’elemento è pari a 7.2 g/cm3. Calcolare il numero di atomi presenti in 208 g dell’elemento
288 pm = 288 ∙ 10-10 cm
Il volume della cella unitaria è pertanto V = (288 ∙ 10-10 cm)3 = 2.39 ∙ 10-23 cm3
Il volume di 208 g dell’elemento = massa/ densità = 208 g/ 7.2 g/cm3 = 28.88 cm3
Il numero di celle unitarie corrispondenti a tale volume è = 28.88 cm3/ 2.39 ∙ 10-23 cm3= 1.21 ∙ 1024
Poiché nel reticolo cubico a corpo centrato (bcc) il numero di atomi è pari a 2 si ha:
2 ∙ 1.21 ∙ 1024 = 2.42 ∙ 1024 atomi
3) Il boroidruro di litio LiBH4 cristallizza secondo un sistema ortorombico con 4 molecole per cella unitaria. La dimensioni della cella unitaria sono a = 6.81 Å, b = 4.43 Å e c = 7.17 Å. Calcolare la densità del cristallo.
Il peso molecolare di LiBH4 è di 22 g/mol
La massa della cella unitaria è = 4 ∙ 22 g/mol / 6.022 ∙ 1023 = 1.46 10-22 g
Il volume della cella unitaria è dato da V = a ∙ b ∙ c = ( 6.81 ∙ 10-8 cm)(4.43 ∙ 10-8 cm) ( 7.17 ∙ 10-8 cm) = 2.16 ∙ 10-22 cm3
La densità è data da d = m/V = 1.46 10-22 g/ 2.16 ∙10-22 cm3 = 0.676 g/cm3
4) L’argento cristallizza in un sistema cubico a facce centrate e lo spigolo della cella è lungo 408.6 pm. Sapendo che la densità dell’argento è 10.50 g/cm3 calcolare: a) la massa di un atomo di argento; b) il numero di Avogadro
408.6 pm = 408.6 ∙ 10-10 cm
Il volume della cella unitaria è V = (408.6 ∙ 10-10 cm)3 = 6.822 ∙ 10-23 cm3
La massa della cella unitaria è data da: m = d ∙ V = 10.50 g /cm3 ∙ 6.822 ∙ 10-23 cm3 =7.163 ∙ 10-22 g
Poiché nel reticolo cubico a facce centrate (fcc) il numero di atomi è pari a 4 la massa di un atomo è pari a:
m = 7.163 ∙ 10-22 g / 4 = 1.791 ∙ 10-22 g
il peso di una mole di Argento è 107.87 g/mol
il numero di Avogadro vale quindi N = 107.87 g/mol/ 1.791 ∙ 10-22 g = 6.023 ∙ 1023
5) Il platino cristallizza secondo un reticolo cubico a facce centrate e ha una densità di 21.45 g/cm3 e il suo peso atomico è pari a 195.08 g/mol. Calcolare la lunghezza della spigolo della cella.
La massa di un atomo è pari a: m = 195.08 g/ 6.022 ∙ 1023 = 3.239 ∙ 10-22 g
Poiché nel reticolo cubico a facce centrate (fcc) il numero di atomi è pari a 4 la massa della cella unitaria è data da: massa della cella unitaria = 3.239 ∙ 10-22 g ∙ 4 = 1.296 ∙ 10-21 g
Il volume della cella unitaria è dato da: V = m/d = 1.296 ∙ 10-21 g/ 21.45 g/cm3 = 6.042 ∙ 10-23 cm3
Da cui la lunghezza dello spigolo della cella è dato da: l = ∛6.042 ∙ 10-23 cm3= 3.924 ∙ 10-8 cm