L’errore nelle misure sperimentali

Ogni misura sperimentale è affetta da errore che può essere dovuto a cause accidentali o è di tipo sistematico che è facile da eliminare

Gli strumenti di misura, per quanto sensibili, hanno dei limiti oltre i quali non si può spingere la misura e conseguentemente si perviene a un valore che può essere espresso da una cifra oltre la quale eventuali altre cifre non avrebbero significato. Oltre agli oggettivi limiti strumentali si deve comprendere che il valore vero di una grandezza risulta alquanto indefinito e pertanto una determinata misura è soltanto un'approssimazione del valore vero e si scosterà da questo di una certa quantità definita errore. La teoria della misura affronta il problema con metodi statistici, mediante i quali, elaborando i dati sperimentali disponibili, fornisce una stima del valore vero giungendo a formulare i risultati in termini di probabilità.

Errore assoluto e errore relativo.

Si definisce errore assoluto ε_i di una data misura x_i la differenza che esiste tra questa e il suo valore vero x_o:
ε_i = x_i – x_o

Un'indicazione più utile circa l'entità dell'errore si ha confrontando l'errore assoluto con la grandezza misurata. Si definisce così l'errore relativo in base al rapporto:

η_i = ε_i/ x_o = x_i – x_o/ x_o

Quando si dispone di una serie di misurazioni si possono ottenere:

• Il valore medio
• La semidispersione assoluta e la semidispersione relativa che evidenziano se la serie di misure è affetta da grandi errori accidentali o da piccoli errori.

Si supponga di disporre dei seguenti dati sperimentali relativi a una data misurazione:

2.89; 2.93; 2.94; 2.84; 3.01; 2.97; 2.92; 2.87; 2.90; 2.97; 2.93; 2.91; 3.04; 2.91; 2.95; 2.93; 2.94; 2.99; 2.90; 2.98

Nessuno dei valori possiede la prerogativa che ci induca ad affermare quale sia il valore vero della misura pertanto possiamo ricercare il valore medio sommando tutti i valori ottenuti nelle diverse misurazioni e dividendo il risultato per il numero di misurazioni effettuate.

Valore medio

Nel nostro caso il valore medio V_M  è dato da:

V_M = 2.89+ 2.93+ 2.94 + 2.84+ …+ 2.94+ 2.99 +  2.90+ 2.98/20 = 2.94

Estendendo tale tipo di procedura a ogni altro tipo di misura si giunge alla seguente formula del valore medio:
V_M = v₁+ v₂+ …+ v_n  / n

Semidispersione

Al fine di valutare se il valore medio ottenuto si discosta di molto o di poco al valore reale ci si serve della semidispersione assoluta. Per risolvere questo problema si valuta di quanto i risultati siano dispersi intorno al valore medio. Facendo riferimento alla serie di misure indicate, si nota che tutte le misure sono comprese in un intervallo abbastanza ristretto: il valore massimo è 3.04 e quello minimo è 2.84. ciò conduce a una dispersione di 3.04 – 2.84 = 0.2. Tale valore non è risibile rispetto ai valori delle misure, ma nemmeno troppo elevato.

Ciò indica che gli errori accidentali commessi  nella misurazione sono stati abbastanza limitati e che il valore medio calcolato ha buone probabilità di essere vicino al valore varo. Al contrario, una grande dispersione dei risultati sarebbe una prima indicazione del fatto che gli errori accidentali hanno avuto un certo peso sull'esito della misura. E' da evidenziare, inoltre che il valore medio calcolato non si pone al centro dell'intervallo definito dalla misura minima e da quella massima. L'incertezza della misurazione viene spesso definita tramite la semidispersione assoluta delle misure (Δv) ottenuta dalla semidifferenza del valore massimo e del valore minimo: in formula Δv = v_max – v_min/2

Nel nostro caso la semidispersione assoluta è data da: 3.04 – 2.84/2 = 0.1

Questo valore indica che, con buona approssimazione, tutti i valori delle diverse misurazioni sono compresi in un intervallo delimitato da un nuovo valore massimo e da un nuovo valore minimo definiti nel modo seguente:

valore massimo = valore medio + semidispersione assoluta

valore minimo = valore medio – semidispersione assoluta

Il risultato di una misura, alla luce di quanto visto, può essere espresso nel seguente modo:

risultato della misura = valore medio ± semidispersione assoluta

che, nel caso dell'esempio in esame si traduce in: risultato della misura = 2.94 ± 0.1

l'incertezza di una misura può essere espressa dal rapporto tra le semidispersione assoluta e il valore medio o dal rapporto tra le semidispersione assoluta e il valore medio moltiplicato per 100. Nel primo caso si ottiene la semidispersione relativa (Δv_rel ), mentre nel secondo caso si ottiene la semidispersione relativa percentuale (Δv_rel%). In formule:

Δv_rel = Δv/ V_M

Δv_rel% = Δv 100/ V_M

Nel nostro caso si ottiene:

semidispersione relativa = 0.1/ 2.94 = 0.034

semidispersione relativa percentuale = 0.1 x 100/ 2.94 = 3.4%

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