Equazioni del moto di un fluido

Per ottenere  le equazioni che regolano il moto di un fluido si ricorre a un modello teorico di fluido ideale supposto del tutto incomprimibile e non viscoso

Una massa fluida in movimento può essere trattata come un mezzo continuo in ogni punto del quale è definito il vettore velocità. In regime stazionario lo stato fisico e la velocità in ogni punto fisso rispetto a un sistema di riferimento non variano con il tempo.

Consideriamo il moto stazionario di un fluido fra due lastre piane in modo tale che solo la componente lungo l’asse x differisca da zero cioè u_y e u_z  sono entrambe nulle e che la u_x dipenda solo dalla posizione lungo l’asse z cioè u_z = f(z). Si assume che il fluido sia incomprimibile e che la sua resistenza interna τ sia esprimibile tramite la legge di Newton. Le equazioni del moto di un fluido si scrivono isolando un elemento di volume dxdydz = dV e uguagliando la forza di inerzia ( massa per accelerazione ) alla somma delle forze a esso applicate.

Forza di inerzia

La forza di inerzia F.I. sarà espressa da:

F.I. = dm du_x/dt = dm ( ∂u_x /∂z  + u_x ∂u_x/ ∂z)

In realtà, essendo il moto stazionario ∂u_x / ∂t =0 ed inoltre dm = ρdV

Le forze esterne sono invece dovute alla pressione, all’attrito interno esistente nel fluido e all’azione di un campo esterno, per esempio quello gravitazionale. Se il moto è orizzontale l’ultimo termine può essere omesso.

Forze dovute alla pressione F.E.N

Le forze dovute alla pressione F.E.N. agiscono su facce parallele e la loro risultante è espressa da:

F.E.N. = P dydz – (P + ∂P/∂x dx) dydz = – ∂P/∂x dV

Le forze di attrito F.E.T. agiscono tangenzialmente rispetto alle facce a e b e la loro risultante è espressa da:

F.E.T. = – ( τ + ∂τ/∂z dz) dxdy + τ dxdy = – dτ/dz dV

Uguagliando la somma F.E.N + F.E.T a F.I. con opportune semplificazioni l’equazione del moto diviene:

ρ u_z du_x/dz = – ∂P/∂x – ∂τ/∂x

dove ρ u_z du_x/dz è il termine inerziale; ∂P/∂x è il termine dovuto alla pressione e ∂τ/∂x è il termine dovuto all’attrito interno. In realtà essendo u_z = 0 l’equazione precedente si semplifica come segue:

∂P/∂x = – ∂τ/∂x

Esprimendo le forze tangenziali secondo l’equazione τ = – μ ∂u_x/ ∂z si ha:

∂P/∂x = μ ∂² u_x/ ∂z²

Integrando quest’ultima equazione si ha:

μu_x = ∂P/∂x (z²/2) + C_1z + C₂

C₁ e C₂ sono due costanti di integrazione i cui valori possono essere valutati applicando le seguenti condizioni al contorno:

u_x = 0 per z = z_w , z = – z_w

esse implicano che non esista scorrimento del fluido in corrispondenza delle pareti ( z_n , – z_n).  Si ricava:

u_x = – 1 / 2μ ∂P/∂x (z²_w – z²)

ciò indica che il profilo di velocità è parabolico. Tale risultato costituisce una peculiarità dei moti viscosi o laminari nei quali le forze di attrito interne al fluido si possono esprimere mediante l’equazione di Newton τ = – μ ∂u_x/ ∂z.