Distribuzione di Maxwell-Boltzman

Le particelle gassose hanno ciascuna un loro moto e quindi sono dotate di energia cinetica; tali particelle, tuttavia, a una determinata temperatura non hanno la stessa velocità e pertanto risulta impossibile poter prevedere la velocità di ciascuna particella in un determinato istante. Si deve pertanto ricorrere a metodi statistici per ottenere una funzione di distribuzione delle particelle con una certa velocità. La distribuzione di Maxwell-Boltzman è una funzione di distribuzione che fornisce la probabilità che  una particella abbia una velocità compresa tra v e v + dv e può essere espressa come:

dN/N = 4 π ( M/2 π RT)3/2 v2 e-Mc2/2RT dv

dove N è il numero totale di molecole presenti, dN/N è la frazione di molecole che hanno una velocità compresa tra v e v+dv, M è il peso molecolare in Kg/mol, T la temperatura espressa in gradi Kelvin e R la costante dei gas che vale 8.31 J/ mol K.

Ponendo sull’asse delle ordinate dN/N e su quella delle ascisse v si ottiene un grafico come quello rappresentato in figura. La curva è detta curva della distribuzione di Maxwell-Boltzman.

maxwell-boltzmann

In cui si può notare che solo una piccola frazione di molecole hanno una velocità molto alta o molto bassa;  la velocità posseduta dalla massima frazione di molecole è detta velocità più probabile che aumenta con l’aumentare della temperatura in quanto un aumento di temperatura comporta un aumento del moto delle particelle. Si può osservare che finché la temperatura di un gas è costante, la frazione avente la velocità pari alla velocità più probabile rimane la stessa, ma le molecole aventi questa velocità può  non essere la stessa. Il picco della curva dà la velocità più probabile, ovvero la velocità posseduta dalla maggior parte delle molecole

Le molecole cambiano continuamente la loro velocità a causa delle collisioni pertanto i loro moti possono essere descritti in termini di differenti tipi di velocità molecolari:

1)      Velocità più probabile

La velocità più probabile e quella posseduta dalla massima frazione di molecole gassose a una determinata temperatura e viene indicata con α dove

α = √ 2RT/M

2)      Velocità media

La velocità media rappresenta una media aritmetica delle velocità posseduta dalle molecole di un campione di gas ed è definita come:

ṽ = v1 + v2 + … + vN/ N

Si può dimostrare che:

ṽ = √ 8 RT/π M

3)      Radice della velocità quadratica media:

è espressa dalla relazione

qm = √N1v12 + N2v12 + N3v32+ …/N1 + N2+ N3+ …

La radice della velocità quadratica media è data dalla relazione:

qm = √3 RT/M

La velocità più probabile, la velocità media e la radice della velocità quadratica media stanno tra loro in rapporto di 1 : 0.9213 : 0.8177 quindi α > ṽ > ṽqm

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Author: Chimicamo

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