Calcolo del raggio atomico e densità dei metalli

Conoscendo la massa atomica di un elemento, il tipo di reticolo con cui esso cristallizza e lo spigolo della cella si può conoscere il raggio atomico e la densità.

Esercizi

  • L’α-polonio cristallizza secondo un reticolo cubico semplice il cui lato è di 336 pm. Determinare il raggio atomico e la densità dell’elemento.

Nel reticolo cubico semplice gli atomi sono a contatto tra loro quindi la lunghezza della cella è il doppio rispetto al raggio atomico quindi il raggio atomico è pari a 336/2 = 168 pm

Il volume di un cubo è dato da V = l3 = (3.36 ∙ 10-8 cm)3 = 3.79 ∙ 10-23 cm3

Poiché le sfere presenti ai vertici sono condivise con 8 celle unitarie adiacenti si può ritenere che solo 1/8 di ogni sfera appartenga ad una data cella unitaria pertanto una cella unitaria contiene un atomo di polonio.

Poiché 1 mole di polonio ha massa pari a 209 g e in essa sono presenti 6.02 ∙ 1023 atomi allora un atomo di polonio ha massa pari a:

209 g ∙ 1 atomo/6.02 ∙ 1023 atomi =3.47 x 10-22 g

La densità è pari a d= massa /volume = 3.47 x 10-22 g/3.79 ∙ 10-23 cm3 = 9.16 g/cm3

  • Il calcio cristallizza secondo un reticolo cubico a facce centrate. Sapendo che il lato del cubo è pari a 558.8 pm calcolare il raggio atomico e la densità del calcio

In un reticolo cubico a facce centrate gli atomi si trovano in contatto tra loro lungo la diagonale quindi la lunghezza della diagonale è pari a 4 raggi atomici

FCC

Il valore della diagonale rappresenta l’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti i lati del cubo può essere ottenuto applicando il teorema di Pitagora:

d2 = (a)2 + (a)2 = (558.8)2 + (558.8)2 =6.25 ∙ 105 pm2

da cui d = √6.25 ∙ 105 pm2 = 790 pm

Poiché d = 4r

Si ha r = 790/4= 197.6 pm

In un reticolo cubico a face centrate vi è un ottavo di atomo in ogni spigolo (8 ∙ 1/8= 1) e mezzo atomo in ognuna delle sei facce ( 6 ∙ ½= 3) per un totale di 4 atomi.

Poiché 1 mole di clcio ha massa pari a 40.078 g e in essa sono presenti 6.02 ∙ 1023 atomi allora quattro atomi di calcio hanno massa pari a:

40.078 g ∙ 4 atomi/6.02 ∙ 1023 atomi = 2.66 x 10-22 g

La densità è pari a d= massa /volume = 2.66 x 10-22 g/3.79 ∙ 10-23 cm3 = 9.16 g/cm3

Il volume della cella è pari a V = l3 = (5.558 ∙ 10-8 cm)3 = 1.745 ∙ 10-22 cm3

La densità vale quindi d = m/V = 2.66 x 10-22 g/  1.745 ∙ 10-22 cm3 = 1.52 g/cm3

  • Identificare il metallo che ha densità 11.5 g/cm3 e cristallizza secondo un reticolo cubico a facce centrate avente lato di 4.06 ∙ 10-10 m

Il volume della cella è dato da V = l3 = (4.06 ∙ 10-10 m)3 = 6.69 ∙ 10-29 m3 = 6.69 ∙ 10-23 cm3

La massa vale m = d ∙ V =11.5 g/cm3 ∙ 6.69 ∙ 10-23 cm3= 7.70 ∙ 10-22 g

Poiché in un reticolo cubico a facce centrate vi sono 4 atomi la massa di un atomo vale:

massa di un atomo = 7.70 ∙ 10-22 g /4 = 1.92 ∙ 10-22 g

1 mole di atomi ha quindi massa pari a 6.02 ∙ 1023 atomi ∙ 1.92 ∙ 10-22 g/ 1 atomo = 115 u che corrisponde a quella dell’indio

  • Determinare il raggio atomico del cromo sapendo che cristallizza secondo un reticolo cubico a corpo centrato il cui volume è di 2.583 ∙ 10-23 cm3

In un reticolo cubico a corpo centrato l’atomo centrale è circondato da 8 atomi che si trovano ai vertici del cubo che sono condivisi con 8 celle unitarie adiacenti pertanto solo 1/8 di ogni atomo appartiene alla singola cella.

Quindi le otto sfere presenti ai vertici nel loro insieme contribuiscono nel loro insieme all’equivalente di una sfera pertanto il numero di sfere per ogni cella unitaria è pari a 1+ (8∙ 1/8) = 2

Il lato del cubo è pari a ∛l =∛2.583 ∙ 10-23 cm3= 2.956 ∙ 10-8 cm

Si deve ora calcolare la diagonale del cubo che è pari a 4 r in quanto in un reticolo cubico a corpo centrato gli atomi si trovano in contatto tra loro lungo la diagonale quindi la lunghezza della diagonale è pari a 4 raggi atomici.

La diagonale del cubo è l’ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il lato del cubo e la diagonale di una faccia del cubo che è pari a d√2

cfc

Applicando il teorema di Pitagora:

(4r)2 = (d)2 + (d√2)2

16 r2 = d2 + 2d2 = 3d2

Da cui r = d√3/16 = 2.956 ∙ 10-8 cm√3/16 = 1.28 ∙ 10-8 cm

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Author: Chimicamo

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