Calcolo del fattore di impacchettamento. Esercizi

In un solido cristallino si definisce cella unitaria la più piccola unità ordinata ripetitiva in grado di generare la struttura cristallina. 

Da dati di diffrazione dei raggi X è possibile determinare, ad esempio, le distanze atomiche e il tipo di reticolo cristallino. Con il termine fattore di impacchettamento APF (Atomic packing factor) si intende la frazione del volume della struttura cristallina occupata dagli atomi:

APF = Natomi Vatomo/ Vcella unitaria

essendo Natomi il numero di atomi presenti nella cella unitaria; Vatomo il volume di ogni atomo e Vcella unitaria il volume occupato dalla cella unitaria.

 Consideriamo un reticolo cubico a facce centrate fcc:

fcc

Gli atomi che si trovano nella cella unitaria possono essere assimilati a sfere aventi tutte lo stesso raggio.

Disponendo le sfere lungo la diagonale la misura di quest’ultima è pari a quattro volte il raggio della sfera:  d = 4r  (1)

La diagonale può essere anche vista come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per lato a e pertanto per il Teorema di Pitagora si ha:

d2 = a2 + a2 = 2a2

e pertanto d = √2a  (2)

Uguagliando la (1) e la (2) si ha:

4r = √2 a

Da cui r = √2 a /4  (3)

Il sistema fcc ha sei facce su ciascuna delle quali vi è un atomo che contribuisce per ½ e otto atomi ai vertici del cubo ciascuno dei quali contribuisce per un ottavo: alla cella unitaria competono quindi (8 x 1/8) + (6 x 1/ 2) = 4. Ricordando che il volume della sfera è dato da V = 4 π r3/3 si ha che il volume dei quattro atomi che competono alla cella è dato da:

V = 4 ∙ 4 π r3/3 = 16 π r3/3

Sostituendo in quest’ultima equazione il valore di r ricavato nella (3) si ha:

V = 16 π/3 (√2 a /4 )3 = (16 π/3) ( 2√2 a3/ 43) = 32 π √2 a3/ 3 ∙ 64 = √2 π a3/ 3 = 0.74 a3

Ciò implica che gli atomi occupano il 74% del volume del cubo.

Esercizio

Il kripton cristallizza secondo un reticolo cubico a facce centrate. Il lato della cella unitaria è pari a 559 pm. Calcolare il volume della cella unitaria, il volume occupato dagli atomi assunti come sfere rigide.

559 pm = 5.59 ∙ 10-8 cm

Il volume del cubo è dato da V = a3 = (5.59 ∙ 10-8 cm)3 = 1.75∙ 10-22 cm3

V = 0.74 a3 = 0.74 ∙ 1.75 ∙ 10-22 cm3 = 1.29 ∙ 10-22 cm3

Consideriamo un reticolo cubico a corpo centrato bcc:

bcc

Disponendo le sfere lungo la diagonale la misura di quest’ultima è pari a quattro volte il raggio della sfera:  d = 4r  (4)

La diagonale del cubo è data da:

d2 = a2 + a2 + a2= 3a2

da cui d = √3 a  (5)

uguagliando la (4) e la (5) si ha:

4 r = √3 a 

Da cui r = √3 a /4  (6)

In tale tipo di reticolo solo l’atomo centrale appartiene interamente alla cella unitaria e otto atomi ai vertici del cubo ciascuno dei quali contribuisce per un ottavo: alla cella unitaria competono quindi (8 x 1/8) + 1 = 2. Ricordando che il volume della sfera è dato da V = 4 π r3/3 si ha che il volume dei due atomi che competono alla cella è dato da:

V = 2 ∙ 4 π r3/3 = 8 π r3/3 = 8 π/3 (√3 a /4  )3 = 8 π/3 (3√3 a3/43) = √3 π a3/ 8 = 0.68 a3

Ciò implica che gli atomi occupano il 68% del volume del cubo.

 Esercizio

Il cromo cristallizza secondo un reticolo cubico a corpo centrato. La cella unitaria ha un volume pari a 2.583 ∙ 10-23 cm3. Determinare il raggio atomico del cromo e il volume occupato dagli atomi nella cella

Il lato a della cella unitaria è dato dalla radice cubica di V ovvero a = ∛2.583 ∙ 10-23 cm3 = 3.00 ∙ 10-8 cm

Applicando l’equazione r = √3 a /4   si ha r = √3 ∙ 3.00 ∙ 10-8 /4 = 1.28 ∙ 10-8 cm

V = 0.68 ∙ 2.583∙ 10-23 cm3= 1.76 ∙ 10-23 cm3

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Author: Chimicamo

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