L’entropia di mescolamento è l’aumento di entropia quando diversi sistemi inizialmente separati di diversa composizione sono miscelati.
Si consideri un sistema di due gas ideali A e B contenuti in un recipiente diviso da una separazione ad una certa pressione e temperatura. Siano nA e nB il numero di moli dei due gas e VA e VB il volume del recipiente in cui essi sono contenuti rispettivamente . Se la separazione è rimossa i due gas sono liberi di diffondere e formano un sistema omogeneo
Variazione di entropia in un processo isotermico reversibile
La variazione di entropia in un processo isotermico reversibile è dato da:
ΔS = nR ln V2/V1
Nel caso del gas A il volume iniziale è VA e il volume finale è VA +VB e nel caso del gas B il volume iniziale è VB e il volume finale è VA +VB. Possiamo quindi scrivere:
ΔSA = nA R ln VA + VB/VA
ΔSB = nB R ln VA + VB/VB
Variazione di entropia dovuta al mescolamento
Per ottenere la variazione di entropia dovuta al mescolamento dei due gas si sommano le rispettive variazioni di entropia:
ΔSmix = ΔSA + ΔSB = nA R ln VA + VB/VA + nB R ln VA + VB/VB
Dall’equazione di stato dei gas ideali sappiamo che pV = nRT. Si ha che il volume è direttamente proporzionale al numero di moli. Pertanto, per la legge di Avogadro, sostituiamo ai volumi il numero di moli:
ΔSmix = nA R ln nA + nB/nA + nB R ln nA + nB/nB
Essendo la frazione molare XA = nA/ nA + nB e XB = nB/ nA + nB si può notare che nella precedente equazione il termine nA + nB/nA è l’inverso della frazione molare XA e il termine nA + nB/nB è l’inverso della frazione molare XB . Poiché ln x-1 = – log x si ha:
ΔSmix = – nA R ln nA/ nA + nB – nB R ln nB/ nA + nB
Da cui mettendo – R in evidenza si ha:
ΔSmix = – R( nA ln XA + nB ln XB)
Tale equazione rappresenta la variazione di entropia di mescolamento.
Ponendo n = nA + nB la stessa può essere scritta come:
ΔSmix = – nR( xA ln XA + xB ln XB)
Poiché la frazione molare è un numero inferiore a 1 e poiché il logaritmo di un numero inferiore a uno è negativo il termine tra parentesi risulta negativo e pertanto l’entropia di mescolamento risulta positiva.