Variazione di entropia nel mescolamento di gas

Si consideri un sistema di due gas ideali A e B contenuti in un recipiente diviso da una separazione ad una certa pressione e temperatura. Siano  nA e nB il numero di moli dei due gas e VA e VB il volume del recipiente in cui essi sono contenuti rispettivamente . Se la separazione viene rimossa i due gas sono liberi di diffondere e formano un sistema omogeneo

due gas

La variazione di entropia in un processo isotermico reversibile è dato da:

ΔS = nR ln V2/V1

Nel caso del gas A il volume iniziale è VA e il volume finale è VA +VB e nel caso del gas B il volume iniziale è VB e il volume finale è VA +VB. Possiamo quindi scrivere:

ΔSA = nA R ln VA + VB/VA

ΔSB = nB R ln VA + VB/VB

Per ottenere la variazione di entropia dovuta al mescolamento dei due gas si sommano le rispettive variazioni di entropia:

ΔSmix = ΔSA + ΔSB = nA R ln VA + VB/VA + nB R ln VA + VB/VB

Dall’equazione di stato dei gas ideali sappiamo che pV = nRT da cui si può evincere che il volume è direttamente proporzionale  al numero di moli e pertanto, per la legge di Avogadro, sostituiamo ai volumi il numero di moli:

ΔSmix = nA R ln nA + nB/nA + nB R ln nA + nB/nB

Essendo la frazione molare XA = nA/ nA + nB  e XB = nB/ nA + nB si può notare che nella precedente equazione il termine nA + nB/nA  è l’inverso della frazione molare XA e il termine  nA + nB/nB  è l’inverso della frazione molare XB  . Poiché ln x-1 = – log x si ha:

ΔSmix = – nA R ln nA/ nA + nB – nB R ln nB/ nA + nB

Da cui mettendo – R in evidenza si ha:

ΔSmix = – R( nA ln XA + nB ln XB)

Tale equazione rappresenta la variazione di entropia di mescolamento.

Ponendo n = nA + nB la stessa può essere scritta come:

ΔSmix = – nR( xA ln XA  + xB ln XB)

Poiché la frazione molare è un numero inferiore a 1 e poiché il logaritmo di un numero inferiore a uno è negativo il termine tra parentesi risulta negativo e pertanto l’entropia di mescolamento risulta positiva.

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Author: Chimicamo

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