Trattazione quantistica dell’atomo di idrogeno

L’idrogeno presenta un solo elettrone in moto intorno al nucleo che può essere considerato fisso all’origine delle coordinate cui corrispondono molte funzioni d’onda e molte energie corrispondenti.

Lo stato ad energia minore è detto stato fondamentale. Secondo la teoria di Bohr l’elettrone si muove attorno al nucleo su di un cerchio il cui raggio è denominato raggio della prima orbita, o più semplicemente raggio di Bohr e si indica con ao. Questo raggio è legato alla massa m e alla carica e dell’elettrone dalla formula:

ao = h2/ 4π2me2 = 5.29 x 10-9 cm

da cui 1/h2= 1/4π2me2ao

Analogamente, l’energia permessa vale

E = – 2π2me4/h2 = – 2π2me4/4π2me2ao = – e2/ 2 ao = – 13.6 eV

Essendo 1 eV l’energia che acquista un elettrone quando passa da un punto all’altro fra i quali vi sia una d.d.p. di 1 V.

Il segno meno indica che tale energia va fornita, ovvero indica il lavoro da fare per separare protone ed elettrone portandoli a distanza infinita con il moto che si svolge esclusivamente in un piano.

Secondo la teoria della meccanica ondulatoria questo elettrone è invece rappresentato da una adeguata funzione d’onda. Si trova che

Ψ = √ e-r/ao/ π ao3

Dove r è la distanza dall’origine. La densità di probabilità ρ è allora

ρ  = e-r/ao/ πao3

si noterà che il moto si svolge in uno spazio a tre dimensioni e che ρ ha simmetria sferica rispetto all’origine.

L’idrogeno,tuttavia, non ha solo l’orbitale atomico corrispondente allo stato fondamentale che è quello più importante dal momento che un atomo è normalmente nello stato a minor energia. Vi sono infatti molte altre energie permesse cui corrispondono molte corrispondenti funzioni d’onda.

orbitali_atomici_idrogeno

In figura sono rappresentati alcuni degli orbitali atomici utilizzati più frequentemente, compreso quello precedentemente considerato, ora indicato con il nome spettroscopico 1s.

orbitale_s

La classificazione nei tipi s,p,d,…, dei quali si hanno esempi nelle figure

 orbitali

 

orbitaLI

è la più significativa. Gli orbitali atomici di tipo s hanno simmetria sferica, quindi la densità della nuvola di carica è funzione solo di r. Tutti gli altri sono asimmetrici: ad esempio vi sono tre orbitali atomici tipo p ed escludendo quella parte della nuvola elettronica che è molto vicina all’origine, e non interviene nella formazione della molecola, in una delle regioni Ψ è positiva e nell’altra è negativa.

Questi orbitali sono nettamente orientati e la loro direzione viene evidenziata per mezzo di un suffisso px ,py ,pz. questi tre orbitali p sono perfettamente equivalenti tranne che nella direzione.

Una caratteristica importante di questi orbitali atomici è che le regioni dove Ψ ha segno opposto sono separate da un piano nodale nel quale Ψ = 0

Per esempio, nell’orbitale px il piano nodale è x = 0 e questo appare ovvio sapendo che per l’orbitale atomico tipo px

Ψ ( px) = x ( funzione di r)

Vi sono poi cinque orbitali di tipo d. Per qualche aspetto, ma non per tutti, un’orbita d è come la sovrapposizione di due orbitali p, in quanto presenta quattro regioni simili di segno alternato separate da due piani nodali.

In presenza di orbitali atomici completamente equivalenti, ma indipendenti, è ovvio che essi corrispondono alla stessa energia permessa. In tal caso si dice che il livello energetico è degenere e il numero di orbitali atomici equivalenti dà il grado di degenerazione.

In tabella è indicata la degenerazione dei diversi tipi di orbitali atomici.

Degenerazione degli orbitali atomici

s Non degenere
p Tre volte degenere
d Cinque volte degenere
f Sette volte degenere

 

Poiché molto di quanto è stato detto si applica anche ad altri atomi è conveniente riassumere la trattazione sotto forma di una serie di proprietà:

  1.          L’elettrone è caratterizzato da una funzione d’onda Ψ e della corrispondente energia E, soluzioni accettabili dell’equazione d’onda. La funzione d’onda può essere definita un orbitale atomico, e Ψ2 indica la probabilità di trovare l’elettrone in ogni regione
  2.       Gli orbitali atomici sono caratterizzati da numeri quantici tra i quali l determina il tipo s,p,d,f dell’orbitale e definisce la forma geometrica e la degenerazione.
  3.      Sono permesse transizioni tra livelli energetici differenti, in conseguenza di assorbimento o di emissione di luce. La relazione tra il cambiamento di energia E1– E2 e la frequenza della luce ν12   costituisce la nota legge di Plank : E1 – E2 = h ν12
  4.    Non tutte le transizioni sono consentite e le regole di selezione limitano i salti permessi. Queste regole di selezione affermano che mentre n può cambiare arbitrariamente, il momento magnetico non cambia affatto e il numero quantico secondario varia di ± 1 .

Ciò significa che le transizioni permesse sono

s →p

p → s   o  d

d → p   o  f

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Author: Chimicamo

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