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Trasmissione del calore

Si distinguono tre diversi modi o meccanismi di trasmissione detti rispettivamente: conduzione, convezione e irraggiamento. Si definisce il calore come la forma assunta dall’energia in transito quando la sua trasmissione da un corpo ad un altro avviene solo in virtù di una differenza di temperatura.

Il meccanismo di trasmissione del calore tramite conduzione avviene con il trasferimento di energia da parte di particelle a energia maggiore a particelle a energia minore in contatto tra di loro, senza movimento macroscopico di materia.

La conduzione che può avvenire nei solidi, nei liquidi e nei gas è dovuta alle collisioni tra le molecole che si muovono in modo random.

Nel caso particolare dei solidi metallici, oltre a tale meccanismo di trasmissione si deve considerare anche la componente di energia trasportata grazie al flusso libero degli elettroni.

Nei solidi infatti tale componente si somma a quella dovuta alla vibrazione degli ioni presenti in un reticolo. Una lattina contenente liquido a bassa temperatura si riscalda a causa del trasferimento di calore dall’ambiente circostante al liquido tramite il contenitore metallico per conduzione .

Meccanismo della conduzione

Lo scienziato francese Jean Fourier nel XIX secolo studiò il meccanismo di trasmissione per  conduzione.

Se si considera una parete piena sufficientemente estesa di materiale omogeneo ed isotropo avente uno spessore Δx e un’area A in cui le due facce hanno una temperatura T₁ e T₂ rispettivamente invarianti nel tempo con T₁ > T₂  e quindi  T₂ – T₁ = ΔT  si osserva che la differenza di temperatura causa un flusso di potenza termica attraverso la sezione A.

La potenza termica Ǭ che attraversa la parete è direttamente proporzionale alla:

• • differenza di temperatura
  • area A della superficie normale alla direzione di propagazione del flusso

ed è inversamente proporzionale allo spessore dello strato:

Ǭ ∝  A ΔT/Δx   (1)

La costante di proporzionalità è rappresentata dalla conduttività termica del materiale λ . Essa  rappresenta il flusso di calore misurato in Watt che attraversa una superficie A sottoposta ad un gradiente termico ΔT e ha come unità di misura [W m^-1 K^-1] .

La costante λ una misura della capacità di un materiale di condurre calore. Un valore elevato di conducibilità termica indica che il materiale è un buon conduttore. Ad esempio il rame che è un buon conduttore elettrico ha una conducibilità pari a circa 400 W m^-1 K^-1.  Il valore del coefficiente di conduzione termica o conduttività termica λ delle diverse sostanze varia entro limiti larghissimi. Esso dipende dallo stato del materiale e può variare con la temperatura, la pressione e gli eventuali trattamenti termici che il materiale ha subito.

Un basso valore della conducibilità termica indica che il materiale è un buon isolante, così ad esempio i gas hanno una conducibilità compresa fra 0.1 e 0.02 W m^-1 K^-1.

Postulato di Fourier

Ipotizzando che nella (1)  lo spessore della parete tenda a zero ovvero applicando l’equazione ad uno spessore infinitesimo di parete nell’ipotesi di flusso stazionario e monodimensionale, si giunge alla forma differenziale della stessa equazione, nota come postulato di Fourier per la conduzione:

Ǭ = – λ A δT/δx  (2)

in cui il segno meno sta ad indicare che la direzione del flusso termico, se concorde con il verso crescente dell’asse delle ascisse corrisponde al decrescere della temperatura ovvero la trasmissione del calore avviene nel senso del gradiente negativo della temperatura  dalla zona più calda a quella più fredda, in accordo con il secondo principio della termodinamica. Per ottenere una trattazione più generale del fenomeno si deve tenere conto che lo scambio di energia per conduzione avviene per interazione diretta tra le molecole del mezzo che in presenza di  un gradiente di temperatura si scambiano la loro energia cinetica rotazionale e vibrazionale. A seguito di tali scambi la quota di energia posseduta da ogni volume elementare del corpo si modifica e conseguentemente si modifica anche il campo delle temperature. Il fenomeno conduttivo è pertanto descritto quando sia noto il campo di temperatura all’interno del corpo che in generale è funzione delle coordinate spaziali x, y, z e del tempo τ ovvero

T = f(x,y,z,τ)    (3)

Si definisce superficie isoterma il luogo geometrico dei punti del corpo che hanno la stessa temperatura in un certo istante τ. Per definizione di superficie isoterma si ha che le superfici isoterme non si intersecano mai in quanto, in un certo istante un punto può avere un solo valore della temperatura.

In regime stazionario, cioè indipendente dal tempo, le superfici isoterme sono fisse mentre in regime variabile le superfici isoterme sono mobili e deformabili.  L’intersezione di un piano con le superfici isoterme determina su quel piano delle curve o linee isoterme che, come le superfici, sono continue e non possono intersecarsi tra loro: il maggior gradiente di temperatura si incontra attraversando le linee isoterme in una direzione n normale ad esse.

Bilancio di energia

Per esplicitare la (3) si esegue un bilancio di energia .

La forma generale dell’equazione di conservazione dell’energia lungo l’asse x, limitatamente ai soli flussi termici, può essere espressa come:

( velocità del flusso termico a x) – ( velocità del flusso termico a x+ Δx) + (velocità di generazione di calore nell’elemento) = (velocità dell’energia dell’elemento)

Ovvero:

Ǭ_x –  Ǭ_x+dx + Ė_g = ΔE/Δt  (4)

Dove ΔE = E_t+Δt – E_t = mC( T_t+Δt – T_t) = ρ CAΔx ( T_t+Δt – T_t)  (5)

In cui ρ è la densità e C il calore specifico e

Ė_g = ėV = ėA Δx  (6)

Sostituendo la (5) e la (6) nella (4) si ha:

Ǭ_x –  Ǭ_x+dx + ėA Δx   = ρ CAΔx ( T_t+Δt – T_t)  /Δt

Dividendo ambo i membri per A Δx    si ottiene:

Ǭ_x –  Ǭ_x+dx / A Δx + ė = ρC ( T_t+Δt – T_t)  /Δt

Ovvero scambiando Ǭ_x con Ǭ_x+dx:

– Ǭ_x+dx– Ǭ_x/ A Δx + ė = ρC ( T_t+Δt – T_t)  /Δt

Al limite per Δx→0 e Δt→ 0 si ha:

lim _Δx→0 Ǭ_x+dx– Ǭ_x/  Δx = δǬ/δx

si ha per la (2):

δǬ/δx = δ/δx( – λA δT/δx)

Forma generale dell’equazione di conservazione dell’energia

Pertanto la forma generale dell’equazione di conservazione dell’energia lungo l’asse x, è espressa come:

1/A (δ/δx) (λAδT/δx+ ė = ρC δT/δt

Tenendo conto che A è costante, dividendo ambo i membri per ρC  ed introducendo al posto del termine λ/ ρC  la diffusività termica che, nel Sistema Internazionale si misura in [m² /s] ed è indicata con il simbolo a l’equazione assume la forma:

a(δ²T/δ²x² )+ė/  ρC = δT/δt

Se non c’è generazione interna di calore scompare il relativo termine e si ottiene l’equazione di Fourier:

a(δ²T/δ²x² )  = δT/δt

La diffusività termica può essere vista come il rapporto tra la capacità che ha un materiale di condurre energia termica, e la sua capacità di accumulare energia. Un alto valore di diffusività termica indica una veloce propagazione dell’energia termica, mentre un valore basso, indica che nel materiale è preponderante l’accumulo.