In una trasformazione isoterma l’energia interna rimane costante e il calore Q scambiato è uguale al lavoro fatto dal gas.
Consideriamo una mole di gas : l’equazione di stato dei gas ideali diviene pV = RT da cui P = RT / V.
Poiché nel caso di compressioni o espansioni reversibili le pressione esterna si identifica in ogni istante con quella interna, in questo caso l’integrale può essere risolto sostituendo Pe con Pi , e quest’ultimo con il rapporto RT / V.
Essendo sia R che T costanti la risoluzione dell’integrale ci dà:
L 1-2 = RT ln V2/V1
Trasformazione isoterma
Infine poiché per una trasformazione isoterma è verificata la legge di Boyle
p1V1 = p2V2 da cui V2/V1 = p1/p2 si ha
L1-2 = RT ln p1/p2
Tali equazioni ci consentono di calcolare il lavoro di espansione scambiato con l’esterno da un gas perfetto in condizioni reversibili.
Esercizi
1) In un cilindro munito di stantuffo sono contenuti 6 · 10-3 m3 di azoto che vengono fatti espandere isotermicamente (227°C) e reversibilmente dalla pressione di 10 atm a quella di 1 atm. Calcolare il volume finale del sistema e il lavoro scambiato.
Per rispondere al primo quesito applichiamo la legge di Boyle
V2= p1V1/p2 e , sostituendo i dati
V2 = 10 ∙6/1 = 60 L
Per calcolare il lavoro scambiato dal sistema applichiamo l’equazione
L 1-2 =n RT ln V2/V1 .
Per calcolare n ( numero di moli ) ci avvaliamo dell’equazione di stato dei gas perfetti pV=nRT
Essendo la temperatura pari a 227 + 273 = 500 K e il volume pari a 6 ∙10-3 m3 = 6 L
n = pV/RT = 1 · 6/ 0.08206 · 500 = 0.146
da cui sostituendo i valori si ottiene
L = 0.146∙0.08206 ∙500 ln 60/6 =13.8 J
2) Una mole di gas perfetto viene fatta espandere isotermicamente ( 100°C) dalla pressione di 10 atm a quella di 1 atm. Calcolare il lavoro scambiato dal sistema reversibilmente e la variazione di energia interna.
Poiché L = RT ln p1/p2 sostituendo i dati si ha :
L = 1.98 ∙100 ln 10/1 = 455 cal
La variazione di energia interna è pari a zero in quanto la temperatura rimane costante.
3) Alla pressione atmosferica e alla temperatura di 27 °C , una mole di atomi di zinco si combina con una mole di acido solforico con sviluppo di 34 kcal . Ammettendo che il lavoro scambiato sia solo quello meccanico , calcolare la variazione di energia interna del sistema.
T = 273 + 27 = 300 K
Quando il lavoro meccanico è scambiato a pressione esterna costante , per calcolarlo si applica la relazione L = peΔV
Essendo V = RT/p si ha
L = p ∙RT/p = RT
E , sostituendo i dati L = 1.98 cal K mol-1 ∙300 = 594 cal/mol
Applicando il primo principio
ΔU = Q – L
ΔU = – 34000 – 594 = – 34594 cal/mol