Spettroscopia Mössbauer: risonanza dei raggi

Si consideri un sistema atomico o nucleare di massa M che abbia due livelli energetici separati dalla energia Eo.

Se il sistema passa dal livello più elevato B a quello più basso A per emissione della radiazione γ con energia Eγ la legge di conservazione della quantità di moto richiede che il nucleo o l’atomo rinculi in direzione opposta alla direzione di propagazione della radiazione γ con quantità di moto P uguale alla quantità di moto p della radiazione. Ricordiamo che per un fotone di energia Eγ si ha:

Eγ = hν = h c/λ

dove ν e λ sono rispettivamente la frequenza e la lunghezza d’onda della radiazione. Applicando l’equazione di Einstein E = mc2 e ponendo p = mc ( quantità di moto del fotone di massa m e velocità c) si ha:

mc2 = pc = h c/λ

da cui:

p = h/ λ = Eγ /c

l’energia cinetica di rinculo R del nucleo che emette raggi γ è data dalla relazione:

R = 1 / 2 Mv2 = P2/ 2M

Dalla legge di conservazione della quantità di moto si ottiene:

R = P2/ 2M = p2/ 2M = Eγ 2/ 2Mc2

Di conseguenza parte dell’energia Eo della transizione nucleare A → B viene dissipata come energia cinetica di rinculo del nucleo e si ha quindi:

Eo = Eγ + R = Eγ  + Eγ 2/ 2Mc2

A questo punto si rende necessario esaminare un’altra grandezza: l’ampiezza dello stato eccitato nucleare B. Se si assume che la vita media rispetto al decadimento per lo stato B sia indicata da τ in accordo al principio di indeterminazione di Heisenberg si ha che l’energia cinetica di questo stato è nota con una certa approssimazione tale da imporre una larghezza I’ della riga della radiazione emessa secondo la relazione:

I’ = h/ 2πτ

L’energia dello stato eccitato B è quindi distribuita intorno al centro Eo, quella dello stato fondamentale A ha invece un valore ben preciso. I fotoni emessi per la transizione B→ A mostrano una distribuzione di energia Eγ  centrata rispetto a Eo – R con ampiezza I’.

Quando un fotone di energia Eγ  e di quantità di moto p urta un bersaglio di massa M, inizialmente allo stato di riposo, gli cede la sua quantità di moto. In questo modo il bersaglio rincula con energia cinetica R. Per eccitare il nucleo bersaglio a un livello di energia Eo la radiazione γ deve possedere energia pari a Eo + R. Si può, quindi, ottenere risonanza di fluorescenza soltanto se alcuni dei fotoni incidenti hanno energia sufficiente per raggiungere lo stato B e contemporaneamente l’energia R necessaria per far rinculare il nucleo bersaglio.

La riga di emissione e quella di assorbimento sono centrate a una distanza pari a 2R

riga di emissione e di assorbimento

data dalla relazione:

2 R = Eγ 2 /Mc2 ≅ Eo2/ Mc2

dove viene tenuto conto che R è sempre molto piccolo rispetto a Eγ . Per raggiungere le condizioni di risonanza la larghezza I’ della riga deve quindi essere maggiore o uguale alla perdita di energia di rinculo ovvero:

2 R ≤ I’

Nella realtà gli atomi del sistema che emette e quelli del sistema che assorbe la radiazione γ non sono in uno stato di quiete bensì in uno stato di moto termico che produce un ampliamento addizionale delle bande di emissione e di assorbimento detto allargamento Doppler.

Consideriamo allora una sorgente con una quantità di moto iniziale Pi che emette un fotone di tipo γ avente quantità di moto p. La quantità di moto della sorgente dopo l’emissione è quindi (Pi –p) mentre l’energia guadagnata dalla sorgente e persa dalla radiazione γ è data dalla relazione:

R’ = (Pi –p)2 / 2 M  – Pi /2M = p2/2 M – Pip/M  (1)

Dove il termine p2/2 M rappresenta l’energia di rinculo R del sistema inizialmente fermo mentre il termine Pip/M rappresenta l’energia che causa l’allargamento Doppler.

Introducendo l’espressione:

ε = Pi2/ 2M

per rappresentare l’energia cinetica del sistema prima dell’emissione del fotone, e il termine:

D = 2 √ε R

per rappresentare l’energia dell’effetto Doppler dall’equazione (1) si ha:

R’ = R – D cos φ

dove φ è l’angolo compreso tra i vettori Pi e p.

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Author: Chimicamo

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