Distribuzione di probabilità: atomo di idrogeno, funzioni d’onda

In meccanica quantistica, non è possibile conoscere in modo certo e simultaneo posizione e velocità di una particella ma ragiona in termini statistici secondo distribuzione di probabilità.
Per individuare la posizione di un elettrone in un atomo possiamo applicare il principio di indeterminazione di Heisenberg:

ΔxΔp = ħ

per stimare Δx. Nell’espressione Δx è l’errore sulla posizione, Δp quello sulla quantità di moto e ħ la costante di Planck ridotta (  ħ= h/2π) o costante di Dirac. La quantità di moto  di un elettrone in un atomo è dell’ordine di grandezza 9 ∙ 10^-19 g cm/s.

Il valore della costante di Planck ridotta è pari a 6.55 ∙ 10^-27 erg· s pertanto con una certa approssimazione si ha:

Δx = ħ / Δp = 7 ∙ 10^-27 erg· s/9 ∙ 10^-19 g cm/s ~ 10^-8 cm

Tenendo conto delle dimensioni dell’atomo di idrogeno si ha che Δx è dello stesso ordine di grandezza dell’atomo stesso. Fin quando l’elettrone è legato all’atomo non possiamo quindi dire nulla di più che esso è nell’atomo.

Funzioni d’onda

Possiamo ottenere una energia e una o più funzioni d’onda per ogni valore del numero quantico principale n risolvendo l’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno.

La conoscenza delle funzioni d’onda,  o ampiezze di probabilità ψ ci permette di calcolare la distribuzione di probabilità per l’elettrone a seconda del numero quantico principale. Quando n = 1 la funzione d’onda e la distribuzione di probabilità sono indipendenti dalla direzione e sono funzione solo della distanza r tra elettrone e nucleo. Ponendo sull’asse delle ascisse r e su quella delle ordinata la funzione d’onda ψ e la probabilità P rispettivamente si ha una rappresentazione del tipo mostrato in figura

L’elettrone si trova più frequentemente vicino al nucleo e la probabilità che esso si trova ad una certa distanza dal nucleo diminuisce all’aumentare di r. L’atomo quindi risulterà ionizzato in quanto l’energia dei fotoni con una lunghezza d’onda minore di 10^-8 cm è maggiore dell’energia necessaria per ionizzare l’atomo di idrogeno. Se viene usata una radiazione con una lunghezza d’onda paragonabile al diametro dell’atomo non si ha  eccitazione all’elettrone, ma la nostra conoscenza della sua posizione sarà meno precisa.

Quando l’elettrone si trova in un determinato livello energetico la probabilità P descrive il modo in cui la carica totale è distribuita nello spazio, la densità elettronica è data dal rapporto e^–/V ovvero dal numero di cariche elettroniche per unità di volume. Piuttosto che considerare la quantità di carica in un determinato volume si può determinare la quantità totale di carica che si trova all’interno di un guscio sottile a forma sferica avente raggio r e una sfera esterna concentrica con la prima con un raggio infinitesimamente più grande r + Δr.

Funzione di distribuzione radiale

L’area della superficie della sfera interna è 4πr² e lo spessore del guscio è Δr. Il volume dello spessore del guscio è 4πr² Δr quindi il prodotto tra tale volume e la densità di carica P_(r) rappresenta il numero di elettroni per unità di volume ovvero la quantità totale di carica elettronica compresa tra le due sfere di raggio r e r + Δr. Il prodotto 4πr² P_n  rappresenta la funzione di distribuzione radiale  Q_n(r) che per lo stato fondamentale dell’atomo di idrogeno ha un andamento come in figura:

All’aumentare del raggio aumenta il volume di spazio definito da 4πr² Δr e raggiunge un massimo quando r = a_o essendo a_o l’unità di lunghezza atomica ( a_o= 5.29∙10^-9 cm)