L' oscillatore armonico quantistico è importante da un punto di vista fisico essendo uno dei pochi sistemi per cui l'equazione di Schrödinger può essere risolta rigorosamente
Il moto di due particelle di massa m1 e m2 vincolate da una molla può essere descritto per semplicità tramite la coordinata interna h = x1 – x2 . La molla esercita una forza di richiamo di tipo elastico verso la posizione di equilibrio delle particelle proporzionale allo spostamento secondo la legge di Hooke
F = – wh dove k è la costante di proporzionalità detta costante di forza ed è un misura della forza di richiamo per lo spostamento unitario. Le espressioni dell'energia cinetica T e potenziale U del sistema sono:
T = ½ ( m1 + m2) 2 ẋ2+ ½ mr ẇ2
U = ½ k w2
In cui con ẋ si indica la derivata di x rispetto al tempo, con ḣ la derivata della derivata interna rispetto al tempo e:
mr = m1m2/(m1+ m2) è la massa ridotta.
Nella figura è riportato l'andamento della energia potenziale U in funzione di h.
Equazioni lagrangiane
Le equazioni lagrangiane del moto del sistema:
d/ dt (dT/ dẇ) + dU/dh =0
d/dT (dT/ dẋ) + dU/dx =0
per sostituzione delle espressioni di U e di T diventano:
mr ẅ+ kw =0
(m1+ m2) ẍ =0
Le soluzioni del sistema sono:
x = c1t + c2 e h = A cos(2πνt) + φ
di cui la prima rappresenta il moto traslazionale del baricentro e la seconda il moto armonico vibrazionale con frequenza ν = 1/2π √ k/mr
Si è così raggiunto il risultato di separare in due distinte equazioni il moto di traslazione del baricentro e il moto armonico di vibrazione del sistema. L'energia totale della vibrazione: H = T + U sostituendo i valori precedentemente ricavati diviene:
H = ½ mrẇ 2 + ½ k w2 = p2/ 2 mr + k/2 w2
Dove p = mrẇ è la quantità di moto. Il corrispondente operatore hamiltoniano assume quindi l'espressione:
H = – h2/ 8π2mr d2/ dw2 + kw2/2
Equazione di Schrödinger
L'equazione di Schrödinger vibrazionale dell'oscillatore armonico quantistico è:
Hψv = Evψv
Dove ν è il numero quantico vibrazionale che può assumere valori interi positivi, zero compreso, e che caratterizza l'energia Ev e la funzione d'onda ψv.
Le espressioni di queste due grandezze sono:
Ev= (ν + ½) h νc ; ν = 0, 1, 2…
ψv = Nv e-(α/2)q2 ; H = │ν >
in cui Nv è il fattore di normalizzazione, Hv è un polinomio di grado ν e α = 4π· (νc/h) mr e la funzione ψv per brevità è indicata con │ν >.
Le espressioni delle energie Ev e delle funzioni d'onda vibrazionali, limitatamente agli stati ν = 0, 1, 2, 3 sono riportate in tabella:
| ν | Ev | ψv |
| 0 | 1 /2 h νc | (α/π)1/4 e-1/2αw2 |
| 1 | 3/2 h νc | 1/√2 (α3/π)1/4 2we–1/2αw2 |
| 2 | 5/2 h νc | 1/√8 (α3/π)1/4(4αw2-2) e–1/2αw2 |
| 3 | 7/2 h νc | 1/√48 (α3/π)1/4 (8αw2-12w) e–1/2αw2 |
Nella figura:
sono riportate, per i primi quattro livelli energetici vibrazionali, le rappresentazioni grafiche delle funzioni d'onda. Queste sono funzioni ortogonali, alternativamente simmetriche e antisimmetriche rispetto all'origine. I livelli energetici sono tutti energeticamente distanziati tra loro: infatti si ha sempre:
ΔE = Ev+1 – Ev = hνc
Teoria quantistica delle perturbazioni dipendenti
L'oscillatore armonico quantistico può assorbire energia e passare da uno stato stazionario a un altro. E' però opportuno stabilire se i livelli interessati alla transizione possono essere qualsiasi oppure no.
La risposta a questo interrogativo è data dalla teoria quantistica delle perturbazioni dipendenti dal tempo secondo la quale la transizione descritta dagli stati ψv' e ψv” è possibile se l'integrale da meno infinito a più infinito di ψv”* M ψv' in dw = <ν”│M│ν'> è diverso da zero, dove M è l'operatore relativo alla perturbazione che provoca la transizione. Poiché un integrale con limiti simmetrici ad esempio –w e +w è uguale a zero per una funzione dispari e diverso da zero per una funzione pari tale integrale è diverso da zero quando ψv”* M ψv' è pari. Supponendo che ψv' corrisponda allo stato fondamentale (ν' = 0) cioè sia una funzione pari, e che ψv” corrisponda al primo stato eccitato (ν” = 1) , funzione dispari, l'integrale è diverso da zero se M è funzione dispari.
