Oscillatore armonico quantistico

Il moto di due particelle di massa   m1 e m2 vincolate da una molla     può essere descritto per semplicità tramite la coordinata interna h = x1 – x2 . La molla esercita una forza di richiamo di tipo elastico verso la posizione di equilibrio delle particelle proporzionale allo spostamento secondo la legge di Hooke

F = – wh dove k è la costante di proporzionalità detta costante di forza ed è un misura della forza di richiamo per lo spostamento unitario. Le espressioni dell’energia cinetica T e potenziale U del sistema sono:

T = ½ ( m1 + m2) 22+ ½ mr2

U = ½ k w2

In cui con si indica la derivata di x rispetto al tempo, con ḣ la derivata della derivata interna rispetto al tempo e:

mr = m1m2/(m1+ m2)  è la massa ridotta.

Nella figura è riportato l’andamento della energia potenziale U in funzione di h.

energia potenziale

Le equazioni lagrangiane del moto del sistema:

d/ dt (dT/ dẇ) + dU/dh =0

d/dT (dT/ dẋ) + dU/dx =0

per sostituzione delle espressioni di U e di T diventano:

mr ẅ+ kw =0

(m1+ m2) ẍ =0

Le soluzioni del sistema sono:

x = c1t + c2 e h = A cos(2πνt) + φ

di cui la prima rappresenta il moto traslazionale del baricentro e la seconda il moto armonico vibrazionale con frequenza ν = 1/2π k/mr

si è così raggiunto il risultato di separare in due distinte equazioni il moto di traslazione del baricentro e il moto armonico di vibrazione del sistema. L’energia totale della vibrazione: H = T + U sostituendo i valori precedentemente ricavati diviene:

H = ½ mr2 + ½ k w2 = p2/ 2 mr + k/2 w2

Condividi
Avatar

Author: Chimicamo

Share This Post On