Legge di Graham: esercizi
La legge di Graham afferma che il rapporto tra le velocità di effusione di due gas è inversamente proporzionale alla radice quadrata delle masse molecolari dei gas.
La diffusione è la dispersione graduale di una sostanza in un’altra, come ad esempio di un gas in un altro come si può vedere in figura:
Essa spiega lo spandersi dei profumi e dei feromoni, i segnali chimici che gli animali si scambiano attraverso l’aria.
La diffusione provvede pure a mantenere pressoché costante la composizione dell’atmosfera, in quanto le concentrazioni anormalmente elevate di un gas diffondono e si disperdono. A bassa quota il fattore più rilevante è il movimento su larga scala dell’aria che usiamo chiamare convezione e che sperimentiamo come vento, mentre la diffusione risulta più importante a quote superiori.
Una delle regioni che rendono i fluoroclorocarburi (CFC) pericolosi per lo strato dell’ozono è che le molecole che diffondono dentro la stratosfera vi permangono a lungo, perché la stratosfera è più calda degli strati sottostanti e si mescola poco con essi.
L’effusione è la fuga di un gas nel vuoto attraverso un piccolo foro come si può vedere in figura:
Essa avviene ogni qualvolta una barriera porosa che presenta, cioè, fori microscopici, oppure un unico forellino, separino il gas dal vuoto. Il gas sfugge dal foro perché sul lato in cui la pressione è maggiore si verificano con il foro più urti di quanti non possano verificarsi dall’altro lato con conseguente passaggio di un maggior numero di molecole dalla regione ad alta pressione a quella a bassa pressione che non viceversa.
Consideriamo due gas diversi A e B, aventi massa mA e mB corrispondenti ai rispettivi pesi molecolari, che si trovano alla stessa temperatura: poiché l’energia cinetica media dipende esclusivamente dalla temperatura i due gas avranno la stessa energia cinetica pertanto:
Energia cinetica A = Energia cinetica B
Essendo l’energia cinetica definita come Ecin = ½ mv2 si ha:
½ mAvA2= ½ mBvB2
Da cui moltiplicando ambo i membri per 2 otteniamo:
mAvA2= mBvB2 ; dividendo ambo i membri per mb e per vA2 si ha:
mA/mB = vB2/ vA2 ed estraendo la radice quadrata:
√ mA/mB = vB/ vA
Legge di Graham
Se sono eseguiti esperimenti di effusione a temperature differenti, si trova che la velocità di effusione si innalza con la temperatura. Specificatamente, per un determinato gas, la velocità di effusione aumenta con la radice quadrata della temperatura:
velocità di effusione a T2/ velocità di effusione a T1 =√T2/T1
dato che la velocità di effusione è proporzionale alla velocità media delle molecole si può dedurre che la velocità media delle molecole di un gas è proporzionale alla radice quadrata della temperatura:
velocità media delle molecole a T2/ velocità media delle molecole a T1 =√T2/T1
Questa relazione rivela uno dei concetti più elusivi della scienza: la natura della temperatura. In riferimento a un gas la temperatura è indicativa della velocità media delle molecole e precisamente quanto più essa è elevata, tanto più lo è la velocità media delle molecole.
Dato che la velocità media delle molecole del gas è direttamente proporzionale alla radice quadrata della temperatura, mentre è inversamente proporzionale alla radice quadrata del peso molecolare si può dire che:
velocità media delle molecole del gas ∝ √T/M
ovvero la velocità media delle molecole di un gas è tanto più alta quanto maggiore è la temperatura e quanto minore è il peso molecolare.
Il tempo che occorre affinché le molecole di un gas effondano attraverso un’apertura o diffondano attraverso un altro gas è direttamente proporzionale al loro peso molecolare. La velocità media delle molecole di un gas è direttamente proporzionale alla radice quadrata della temperatura e inversamente proporzionale alla radice quadrata del peso molecolare
Esercizi
1) Calcolare il rapporto tra la velocità dell’elio e quella del radon quando entrambi si trovano alla stessa temperatura.
Ricordando che i pesi atomici dell’elio e del radon sono rispettivamente 4.00 e 222 g/mol applicando la legge di Graham si ha:
vHe/ vRd= √222/4.00 = 7.45
- ovvero l’elio avrà una velocità 7.45 volte maggiore rispetto a quella del radon.
2) 25 mL di un gas neon sintetizzato effondono attraverso una barriera porosa in 65 s. Si è trovato che lo stesso volume di argon effonde, nelle stesse condizioni in 38 s. Determinare il peso molecolare del gas incognito.
Poiché √ mA/mB = vB/ vA , sapendo che la velocità è inversamente proporzionale al tempo, possiamo dire:
√ mB/mA = tempo di effusione di B/ tempo di effusione di A e, quadrando si ha:
mB/mA = (tempo di effusione di B/ tempo di effusione di A)2
sostituendo:
peso molecolare del gas incognito/ 39.95 = ( 65/38)2 da cui
il peso molecolare del gas incognito è pari a 1.2 · 102 g/mol
3) Due contenitori sono riempiti rispettivamente di idrogeno e di neon. Nelle stesse condizioni i 2/3 dell’idrogeno effondono attraverso una membrana porosa in 6 ore. Calcolare il tempo necessario affinché effonda la metà del neon nelle stesse condizioni.
Chiamiamo con x la velocità dell’idrogeno e supponiamo che la velocità del neon sia pari a 1.
Per la legge di Graham si ha x/1 = √20.18/ 2.02
Da cui x = 3.16 il che implica che l’idrogeno effonde con una velocità 3.16 volte maggiore rispetto a quella del neon.
La quantità di neon che effonde in 6 ore sarà pari a 2/3 / 3.16 =0.211
Il tempo necessario affinché effonda la metà del neon contenuto è pari a:
6 · 0.50/ 0.211 =14.2 ore