Il Ciclo di Carnot: ciclo semplice simmetrico e reversibile.

Il ciclo di Carnot è un ciclo semplice, simmetrico e reversibile caratterizzato da due trasformazioni isoterme reversibili : l’una a temperatura T1 e l’altra a temperatura T2 con( T1 › T2)  e due trasformazioni adiabatiche. Schematizziamo le quattro trasformazioni:

1)   Espansione isoterma e reversibile del gas dallo stato A allo stato B alla temperatura costante T1. Il gas , che nello stato A occupa un volume V1 alla pressione p1  viene fatto espandere isotermicamente e reversibilmente fino a occupare un volume V2 alla pressione p2

2)     Espansione adiabatica e reversibile dal gas dallo stato B allo stato C . Il gas dal volume V2 e pressione p2 viene fatto espandere senza scambi di calore con l’esterno fino ad occupare un volume V3  a pressione p3

3)     Compressione isoterma reversibile del gas dallo stato C a quello D alla temperatura costante T2 in cui il gas viene compresso dal volume V3 e pressione p3 fino al volume V4 e pressione p4

4)     Compressione adiabatica e reversibile del gas dallo stato D a quello di partenza A in cui il gas viene compresso dal volume Ve pressione p4 al volume iniziale V1 e pressione iniziale p1 . In questa trasformazione il gas riceve calore dall’esterno e aumenta la propria energia interna e la sua temperatura passa dal valore T2 a quello maggiore T1.

Carnot

Il rendimento del ciclo espresso da :

 

η = Q1 + Q2/ Q1

dipende dal calore scambiato dal sistema alle due sorgenti , e per calcolarlo è sufficiente prendere in esame gli scambi termici effettuati nelle due trasformazioni isoterme, essendo nullo quello effettuato nelle due adiabatiche.

Se il sistema è una mole di gas perfetto, in una trasformazione isoterma ΔU = 0 e quindi il calore scambiato si identifica con il lavoro Q = L

Quindi è possibile applicare l’equazione  L = RT ln V2/ V1  che con la conseguente simboleggiatura diviene :

Q1 = Q A-B = L A-B = RT1 ln V2/ V1

Q2 = Q C-D = L C-D = RT2 ln V4/ V3

Sostituendo tali relazioni nell’espressione del rendimento e, tenendo conto che

RT2 ln V4/V3 = – RT2 ln V3/ V4 si ha :

η = RT1 ln V2/V1 – RT2 ln V3/V4/ RT1 ln V2/ V1 ovvero semplificando tenendo conto che per un ciclo simmetrico è valida la relazione V2/V1 = V3/V4 si ha :

η = 1 – T2/ T1

se ne conclude :

1)       il rendimento termodinamico di una macchina termica che realizza un ciclo reversibile di Carnot, dipende solo dalle temperature delle due sorgenti

2)     il rendimento è tanto maggiore quanto maggiore è la differenza di temperatura delle due sorgenti

3)     essendo T2< T1 il rendimento di una macchina termica è sempre minore di 1.

 

Poiché il rendimento può essere espresso sia dalla equazione

η  = 1 + Q2/ Q1 che  dall’equazione η= 1 – T2/T1

uguagliando le due espressioni si ha :

1 + Q2/ Q1 = 1 – T2/T1

Da cui Q2/Q1 = – T2/T1

E cioè

Q2/T2 = – Q1 /T1

E infine :

Q2/T2 + Q1/T1=0

Da tale relazione nota come uguaglianza di Clausius si deduce che in un ciclo la somma algebrica dei rapporti degli scambi termici effettuati dal sistema alle due sorgenti è uguale a zero.

Prendendo in esame un qualunque ciclo composto caratterizzato da più di due scambi termici e suddividendo tale ciclo in un certo numero di cicli di Carnot si può dimostrare che la superficie totale ottenuta dalla somma di tutti i cicli parziali di Carnot è equivalente a quella ricoperta da tutto il ciclo composto originale.

Applicando l’uguaglianza di Clausius ad ogni ciclo di Carnot in cui è stato suddiviso il ciclo composto originale si ha :

Q1/T1 + Q2/T2=0  ; Q3/T3 = Q4/T4=0  ……. Qn-1 /Tn-1 = Qn/Tn=0

Sommando tutti i termini di cui sopra

∑ Qi (rev)/Ti =0

Considerando scambi di calore infinitesimi si ha dQi(rev) / Ti =0

Posto dQrev/T = dS

Si ha ΔS =0

Tale grandezza è una funzione di stato chiamata entropia la cui unità di misura è cal/mol K

 

Esercizi

1)       Una macchina termica lavora prelevando calore da una sorgente superiore posta alla temperatura di 127 °C e cede il calore non utilizzato a una sorgente inferiore posta alla temperatura di 27 °C. Calcolare la quantità di calore che deve essere prelevata dalla sorgente superiore affinché la macchina fornisca il lavoro di 500 J.

 

Convertiamo i gradi Centigradi in gradi Kelvin :

T1 = 400 K ;  T2= 300 K

Applicando  la relazione :

η = 1 – T2/T1  e sostituendo i valori si ottiene  η= 1 – 300/400 = 0.25 e poiché il rendimento è la frazione di calore trasformata in lavoro si ha :

500/ Q1= 0.25

Da cui Q1 = 2000 J

 

2)     180 g di vapore acqueo alla temperatura di 127 °C vengono fatti espandere isotermicamente dalla pressione di 760 mm Hg a quella di 630 mm Hg. Calcolare la variazione di entropia quando il processo avviene reversibilmente. Calcolare inoltre il calore scambiato.

Moli di vapore acqueo = 180 g/ 18 g/mol = 10

ΔS = nRT ln p1/ p2

Sostituendo i dati ΔS = 10 x 1.98 x 2.3 log 760/630 = 3.64 unità entropiche

Il calore scambiato si calcola applicando la relazione ΔS = Qrev/ T

Qrev = TΔS = 400 x 3.64 = 1460 cal

 

 

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Author: Chimicamo

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