Il ciclo di Carnot : esercizi svolti, grafico, fasi

Il ciclo di  Carnot detto di massimo rendimento riveste una particolare importanza in campo termodinamico sia a livello teorico che applicativo. Prende il nome dagli studi del fisico, matematico e ingegnere francese Nicolas Léonard Sadi Carnot che contributi alla termodinamica teorica con la teorizzazione di quella che sarà chiamata la macchina di Carnot, il ciclo di Carnot e il teorema di Carnot.
Il ciclo di Carnot è caratterizzato da due trasformazioni isoterme reversibili : l’una a temperatura T₁ e l’altra a temperatura T₂ con( T₁ › T₂)  e due trasformazioni adiabatiche.

Fasi del ciclo di Carnot

Le quattro trasformazioni del ciclo di Carnot possono essere così schematizzate:

1)  Espansione isoterma e reversibile del gas dallo stato A allo stato B alla temperatura costante T₁. Il gas , che nello stato A occupa un volume V_a alla pressione p_a  è fatto espandere isotermicamente e reversibilmente fino a occupare un volume V_b alla pressione p_b

2)  Espansione adiabatica e reversibile dal gas dallo stato B allo stato C . Il gas dal volume V_b  e pressione p_v è fatto espandere senza scambi di calore con l’esterno fino ad occupare un volume V_c  a pressione p_c

3)  Compressione isoterma reversibile del gas dallo stato C a quello D alla temperatura costante T₂ in cui il gas viene compresso dal volume V_c e pressione p_c fino al volume V_d e pressione p_d

4)  Compressione adiabatica e reversibile del gas dallo stato D a quello di partenza A in cui il gas viene compresso dal volume V_d e pressione p_d al volume iniziale V_a e pressione iniziale p_a . In questa trasformazione il gas riceve calore dall’esterno e aumenta la propria energia interna e la sua temperatura passa dal valore T₂ a quello maggiore T₁.

Esercizi sul ciclo di Carnot

1)      Un cilindro munito di pistone contiene aria alla temperatura di 0 °C, alla pressione di 100.0 kPa e ha un volume di 0.0100 m³. Il sistema è dapprima compresso isotermicamente ad un volume di 0.00200 m³ e successivamente sottoposto a compressione adiabatica ( γ = 1.4) fin quando il suo volume si riduce ulteriormente a 0.00100 m³.

Il sistema è poi fatto espandere isotermicamente fino alla pressione di 500.0 kPa e successivamente è fatto espandere fino a ritornare allo stato iniziale. Calcolare la pressione massima che viene raggiunta durante il ciclo

Dai dati forniti il ciclo parte dal punto C in figura in cui:

P_c = 100.0 kPa

V_c = 0.0100 m³

T_c = 25.0 °C

fino a giungere a D in cui il volume V_d  è di 0.00200 m³. Trattandosi di una trasformazione isotermica possiamo applicare la legge di Boyle:

P_cV_c = P_dV_d

Da cui P_d = P_cV_c/V_d

Sostituendo il dati si ha:

P_d = 100.0 · 0.0100 / 0.00200 = 100 · 0.0100/ 0.00200 = 500 kPa

Nella seconda trasformazione da C ad A si ha un processo adiabatico e pertanto possiamo applicare l’equazione di Poisson:

P_dV_d^γ= P_aV_a^γ

In cui P_d = 500 kPa , V_d = 0.00200 m³ e V_a = 0.00100 m³

Si ha quindi che P_a che è la massima pressione raggiunta dal sistema nel ciclo, come si può vedere dalla figura, è data da:

P_a = P_d(V_d/V_a)^γ

Da cui P_a = 500 ( 0.00200/0.00100)^1.4 = 1319 kPa

2)      Calcolare la temperatura massima raggiunta dal sistema del precedente esercizio

Applichiamo l’equazione combinata dei gas tenendo presente che:
P_d= 500 kPa; P_a = 1319 kPa; V_d = 0.00200 m³ ; V_a = 0.00100 m³ e T_d = T_c = 25.0 °C = 273.15 K

P_dV_d/T_d = P_aV_a/T_a

Da cui:

T_a= P_aV_a T_d / P_dV_d = 1319 · 0.00100· 273.15/500 · 0.00200 = 393.25 K

3)      Calcolare il lavoro dopo che è stato completato il processo di compressione isotermica riferendosi ai dati del precedente esercizio.

Nel processo C → D si ha:

_cW_d  = ∫_Vc^{V d}   dV/V = ln V_d/V_a = ln 0.00200/0.0100 = – 1.61 kJ

4)      Un motore che utilizza 0.020 moli di gas ideale opera tra due sorgenti rispettivamente a T_H =  1000 K e a T_C = 300 K. Il motore assume 25 J di calore dalla sorgente calda per ogni ciclo. Calcolare il lavoro svolto dal motore durante le due fasi isotermiche del ciclo di Carnot, il lavoro complessivo e il rendimento del motore.

Durante i processi isotermici non avviene variazione di energia interna e pertanto:

ΔU = Q + W = 0

Calcoliamo il lavoro fatto nel corso dell’espansione isotermica ovvero da A a B. Durante una espansione isotermica il lavoro fatto dal gas è uguale al calore ricevuto dal momento che non si ha variazione di temperatura pertanto

W_a→b = + 25 J per ciclo

Durante la compressione isotermica ovvero da C a D il gas fa un lavoro negativo:

W_c→d = – Q_C

Poiché i calori sono proporzionali alle temperature si ha:

Q_C/Q_H = T_C/T_H

Quindi:

W_c→d = – Q_C = – Q_H T_C/T_H = – 25 · 300/1000 = – 7.5 J per ciclo

Poiché il lavoro svolto durante i processi adiabatici è nullo si ha:
W = 25 – 7.5 = 17.5 J

E quindi il rendimento η è dato da:

η = 17.5 / 25 = 0.70