Il ciclo di Carnot : esercizi svolti

Il ciclo di Carnot è caratterizzato da due trasformazioni isoterme reversibili : l’una a temperatura T1 e l’altra a temperatura T2 con( T› T2)  e due trasformazioni adiabatiche. Le quattro trasformazioni possono essere così schematizzate:

1)  Espansione isoterma e reversibile del gas dallo stato A allo stato B alla temperatura costante T1. Il gas , che nello stato A occupa un volume Va alla pressione pa  viene fatto espandere isotermicamente e reversibilmente fino a occupare un volume Vb alla pressione pb

2)  Espansione adiabatica e reversibile dal gas dallo stato B allo stato C . Il gas dal volume Vb  e pressione pv viene fatto espandere senza scambi di calore con l’esterno fino ad occupare un volume Vc  a pressione pc

3)  Compressione isoterma reversibile del gas dallo stato C a quello D alla temperatura costante T2 in cui il gas viene compresso dal volume Vc e pressione pc fino al volume Vd e pressione pd

4)  Compressione adiabatica e reversibile del gas dallo stato D a quello di partenza A in cui il gas viene compresso dal volume Ve pressione pd al volume iniziale Va e pressione iniziale pa . In questa trasformazione il gas riceve calore dall’esterno e aumenta la propria energia interna e la sua temperatura passa dal valore T2 a quello maggiore T1.

carnot

Esercizi

1)      Un cilindro munito di pistone contiene aria alla temperatura di 0 °C, alla pressione di 100.0 kPa e ha un volume di 0.0100 m3. Il sistema è dapprima compresso isotermicamente ad un volume di 0.00200 m3 e successivamente sottoposto a compressione adiabatica ( γ = 1.4) fin quando il suo volume si riduce ulteriormente a 0.00100 m3. Il sistema viene poi fatto espandere isotermicamente fino alla pressione di 500.0 kPa e successivamente viene fatto espandere fino a ritornare allo stato iniziale. Calcolare la pressione massima che viene raggiunta durante il ciclo

Dai dati forniti il ciclo parte dal punto C in figura in cui:

Pc = 100.0 kPa

Vc = 0.0100 m3

Tc = 25.0 °C

fino a giungere a D in cui il volume Vd  è di 0.00200 m3. Trattandosi di una trasformazione isotermica possiamo applicare la legge di Boyle:

PcVc = PdVd

Da cui Pd = PcVc/Vd

Sostituendo il dati si ha:

Pd = 100.0 x 0.0100 / 0.00200 = 100 x 0.0100/ 0.00200 = 500 kPa

Nella seconda trasformazione da C ad A si ha un processo adiabatico e pertanto possiamo applicare l’equazione di Poisson:

PdVdγ= PaVaγ

In cui Pd = 500 kPa , Vd = 0.00200 m3 e Va = 0.00100 m3

Si ha quindi che Pa che è la massima pressione raggiunta dal sistema nel ciclo, come si può vedere dalla figura, è data da:

Pa = Pd(Vd/Va)γ

Da cui Pa = 500 ( 0.00200/0.00100)1.4 = 1319 kPa

2)      Calcolare la temperatura massima raggiunta dal sistema del precedente esercizio

Applichiamo l’equazione combinata dei gas tenendo presente che:
Pd= 500 kPa; Pa = 1319 kPa; Vd = 0.00200 m3 ; Va = 0.00100 m3 e Td = Tc = 25.0 °C = 273.15 K

PdVd/Td = PaVa/Ta

Da cui:

Ta= PaVa Td / PdVd = 1319 x 0.00100 x 273.15/500 x 0.00200 = 393.25 K

3)      Calcolare il lavoro dopo che è stato completato il processo di compressione isotermica riferendosi ai dati del precedente esercizio.

Nel processo C → D si ha:

cWd  = ∫VcV d   dV/V = ln Vd/Va = ln 0.00200/0.0100 = – 1.61 kJ

4)      Un motore che utilizza 0.020 moli di gas ideale opera tra due sorgenti rispettivamente a TH =  1000 K e a TC = 300 K. Il motore assume 25 J di calore dalla sorgente calda per ogni ciclo. Calcolare il lavoro svolto dal motore durante le due fasi isotermiche del ciclo, il lavoro complessivo e il rendimento del motore.

Durante i processi isotermici non avviene variazione di energia interna e pertanto:

ΔU = Q + W = 0

Calcoliamo il lavoro fatto nel corso dell’espansione isotermica ovvero da A a B. Durante una espansione isotermica il lavoro fatto dal gas è uguale al calore ricevuto dal momento che non si ha variazione di temperatura pertanto

Wa→b = + 25 J per ciclo

Durante la compressione isotermica ovvero da C a D il gas fa un lavoro negativo:

Wc→d = – QC

Poiché i calori sono proporzionali alle temperature si ha:

QC/QH = TC/TH

Quindi:

Wc→d = – QC = – QH TC/TH = – 25 x 300/1000 = – 7.5 J per ciclo

Poiché il lavoro svolto durante i processi adiabatici è nullo si ha:
W = 25 – 7.5 = 17.5 J

E quindi il rendimento η è dato da:

η = 17.5 / 25 = 0.70

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Author: Chimicamo

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