Funzioni d’onda e meccanica ondulatoria

Le funzioni d’onda sono funzioni che variano come un’onda il cui valore varia a seconda della posizione la cui dinamica è descritta dall’equazione di Schrödinger

Consideriamo l’immagine fisica dell’atomo di Rutherford-Bohr  in cui il numero appropriato di elettroni si muove intorno a un nucleo centrale, che si può considerare fisso.

Bohr presupponeva che ciascun elettrone si muovesse in una certa orbita definita sebbene le orbite interferissero un poco tra loro a cause della reciproca repulsione coulombiana tra cariche di segno uguale. Condizioni analoghe si incontrano nel sistema solare ed infatti si parla di modello planetario.

L’applicazione di tale teoria agli atomi trova però due fondamentali obiezioni:

• Di poter definire la posizione e la velocità di ciascun elettrone
• Di potere seguire il moto, cioè l’orbita di ciascun elettrone così come gli astronomi seguono il moto dei pianeti

Principio di Heisenberg

In realtà né l’uno né l’altro di tali presupposti è valido. Infatti Heisenberg dimostrò nel 1927 con il suo principio di indeterminazione che non è possibile conoscere il comportamento di una particella così piccola come l’elettrone, con la precisione richiesta dalla teoria dell’atomo planetario; per esempio, non vi è alcun modo di misurare esattamente la velocità di un elettrone in un atomo, né di localizzarlo esattamente in qualunque dato momento.

In realtà quanto più precisamente tentiamo di determinare la sua posizione, tanto meno siamo in grado di misurarne con esattezza la sua velocità e viceversa. Stanti così le cose si vede che la descrizione di entità piccolissime appartenenti al mondo subparticellare non può essere fatta applicando i canoni della fisica classica che appare rispondente a modelli appartenenti al mondo macroscopico.

Si rende quindi necessaria la ricerca di un’altra descrizione : a tali requisiti risponde la meccanica ondulatoria. La teoria della meccanica ondulatoria, presentata nel 1926 da Erwin Schrödinger si basa su due dati di fatto:

• Il carattere ondulatorio dell’elettrone
• Il carattere probabilistico o statistico della nostra conoscenza

Secondo la definizione newtoniana un elettrone è una particella puntiforme la cui posizione è determinata dalle sue coordinate x,y,z.   Il suo moto, o orbita, in un atomo viene descritto dal modo in cui x,y, e z variano nel tempo. Fin dal 1924 De Broglie aveva tuttavia dimostrato, con alcune considerazioni teoriche basate sull’invarianza di certe formule relativistiche che  ad una particella in movimento si può associare un’onda con una lunghezza d’onda  λ inversamente proporzionale al momento lineare p essendo detto  il momento lineare anche quantità di moto :

λ ∝ 1/p = 1 /mv 

Il significato di queste onde venne meglio specificato da Davisson e Germer nel 1927 e indipendentemente da G.P. Thomson nel 1928 i quali dimostrarono che un raggio di elettroni si comporta come se fosse un’onda e può essere diffratto da un opportuno reticolo, il reticolo cristallino, e che inoltre la lunghezza d’onda λ era esattamente quella prevista da De Broglie:

λ = h/p dove h è la costante di Planck o, come da lui stesso battezzato, quanto elementare d’azione. Se la velocità non è molto elevata p = mv dove m e v sono rispettivamente la massa e la velocità dell’elettrone quindi approssimativamente,

 λ = h/mv 

Se esistono delle onde, deve esistere anche un’equazione d’onda che le rappresenti. Se questo si verifica per le onde luminose, per le onde sonore, per le onde che si propagano in altri mezzi, per le onde di una corda vibrante ecc. deve verificarsi anche per le onde elettroniche. Si arriva così all’equazione d’onda di Schrödinger che è in relazione al carattere probabilistico della nostra conoscenza. Secondo il principio di indeterminazione di Heisenberg non si può mai sapere esattamente dove sia  una particella e, in tali condizioni, il meglio che si può fare è  determinare la probabilità che si trovi in una data regione.

Funzioni d’onda

Questo significa che la posizione della particella è definita secondo una funzione di probabilità. Tale funzione varia da luogo a luogo secondo la probabilità che la particella si trovi in ogni particolare regione. Se indichiamo la funzione con ρ(x,y,z), si avrà maggiore probabilità di trovare la particella in quelle regioni dove ρ è più grande.

Infatti dxdydz ( ≡ dτ) che circonda il punto x,y,z; per questa ragione ρ è anche detto intensità di probabilità. Dato che la particella deve essere da qualche parte, la probabilità totale è uguale all’unità cioè:

 ∫ρdτ = 1  (*)

Per definire la relazione tra l’equazione d’onda e la densità ρ ci si può rifare alle interpretazioni fisiche di altre equazioni di moti ondulatori.

Generalmente è il quadrato dell’ampiezza dell’onda che ha significato piuttosto che l’ampiezza stessa. Per esempio, in un campo elettrico dove E e H sono i vettori elettrico e magnetico, la densità di energia è ( E²+ H²) / 8π ; e in un’onda che si propaga lungo una corda tesa, l’energia totale è proporzionale al quadrato dell’ampiezza. Ciò fa pensare ad un’analoga correlazione anche per le onde elettroniche e per le onde associate ad altre particelle.

Posto che la soluzione dell’equazione d’onda di una particella sia una funzione ψ(x,y,z) si può anticipare che ρ (x,y,z) ∝ ψ ² (x,y,z)

Conseguentemente l’equazione (*) diventa:

 ∫ ψ ² dτ =1

Tali funzioni d’onda si dicono normalizzate. Se ψ non è normalizzata può diventarlo moltiplicandola per N dove N è un fattore di normalizzazione

N^-2 = ∫ ψ ² (x,y,z,) dτ

E’ per una semplice ragione che la densità di probabilità è in relazione con il quadrato di ψ e non con ψ stesso. Risolvendo l’equazione d’onda si trovano generalmente alcune regioni dello spazio dove ψ è positivo e altre dove è negativo. Ma la probabilità deve essere sempre positiva o nulla; perciò tentando di mettere in relazione la funzione d’onda con la densità si è costretti ad abbandonare ψ in funzione di ψ ².

Supponiamo di voler trovare il comportamento di una certa particella che si muove sotto l’influenza di date forze. Il procedimento è il seguente:

• Si scrive l’equazione d’onda nella forma adatta alle condizioni date;
• Si risolve questa equazione per trovare una funzione d’onda ψ (x,y,z)
• La densità di probabilità è allora ρ = ψ ² (x,y,z)

L’equazione d’onda ha un infinito numero di soluzioni, ma non tutte sono corrispondenti ad una realtà fisica o chimica e tali soluzioni sono inaccettabili. Le funzioni d’onda, infatti, devono soddisfare ad alcune condizioni. Nel caso di un elettrone legato a un atomo o ad una molecola si può stabilire che la  ψ  deve essere ovunque finita,  ad un solo valore e continua infatti se avesse valori diversi le soluzioni sarebbero infinite. Inoltre deve essere tale che l’integrale ∫ ψ ² dτ sia definito così che la funzione d’onda possa essere normalizzata.

Queste condizioni comportano conseguenze notevoli: infatti l’equazione d’onda contiene in uno dei suoi termini l’energia totale E dell’elettrone e perciò molte soluzioni dipendono da E. stabilire che solo alcune di queste possibili soluzioni sono funzioni d’onda accettabili, significa che solo per certi valori di energia, esistono funzioni di probabilità fisicamente significative. Definiamo questi stati stati stazionari, poiché ad essi corrisponde un’energia costante. Le energie sono dette auto valori e le corrispondenti funzioni d’onda autofunzioni.

E’ stato uno dei maggiori trionfi dell’equazione d’onda il fatto che l’esistenza di livelli energetici discreti sia una conseguenza inevitabile, senza la necessità di introdurre condizioni di quantizzazione come era stato costretto a fare Bohr. Tuttavia nel caso dell’atomo di idrogeno, per cui la teoria di Bohr dava determinati livelli energetici, la nuova teoria dava esattamente gli stessi risultati. Nel caso dell’atomo di elio, per cui la teoria di Bohr dava risultati errati, la nuova teoria forniva energie corrispondenti a quelle sperimentali.