Fenomeno di trasporto dei fluidi

Il fenomeno di trasporto nei fluidi rappresenta uno degli aspetti fondamentali della meccanica dei continui e della termodinamica, poiché descrive come grandezze fisiche come quantità di moto, energia e materia si spostano all’interno di un fluido. In termini generali, un fenomeno di trasporto si manifesta quando esiste una relazione tra la densità di flusso di una grandezza trasportata e il gradiente di una variabile intensiva associata: questa relazione è spesso lineare nelle condizioni di regime stazionario o per piccoli gradienti.

In pratica, un fenomeno di trasporto può riguardare:

-la quantità di moto, che si manifesta come moto del fluido stesso;

-il calore, che si trasferisce per conduzione o convezione;

-la materia, cioè il trasporto di specie chimiche o di particelle disperse.

Un fluido non si trova in condizioni di equilibrio quando all’interno della sua massa è presente un gradiente di una delle variabili intensive che definiscono lo stato termodinamico del sistema, quali pressione, temperatura o concentrazione di specie chimiche nel caso di miscele. La presenza di questi gradienti costituisce il motore del fenomeno di trasporto, in quanto induce il fluido a modificare la propria distribuzione per ridurre le differenze: ad esempio, un gradiente di pressione genera un moto complessivo della massa fluida dalle zone a pressione più alta verso quelle a pressione più bassa, mentre un gradiente di temperatura causa il trasferimento di calore dalle regioni più calde a quelle più fredde. Analogamente, un gradiente di concentrazione provoca il movimento di particelle da zone ad alta concentrazione verso zone a concentrazione più bassa.

In sintesi, il fenomeno di trasporto costituisce il principio attraverso cui i fluidi tendono a ridurre i disequilibri presenti nel loro stato, garantendo il trasferimento di quantità di moto, energia e materia. La comprensione di questi processi  di fenomeno di trasporto è fondamentale per la progettazione di sistemi ingegneristici, per la modellizzazione dei fenomeni naturali e per l’analisi dei trasporti nei sistemi chimici e biologici.

Legge di Newton

Nel contesto del fenomeno di trasporto nei fluidi, un gradiente di pressione genera un moto complessivo della massa fluida dalle zone a pressione più alta verso quelle a pressione più bassa. Tuttavia, a questo moto si oppone una resistenza interna, dovuta alla viscosità del fluido, che limita lo scorrimento relativo tra strati adiacenti.

Questa resistenza può essere descritta quantitativamente mediante la legge di Newton per la viscosità, che esprime lo sforzo tangenziale τ come proporzionale al gradiente di velocità tra due strati di fluido:

τ = – μ ∂u_x/ ∂_z   (1)

dove τ rappresenta lo sforzo tangenziale, forza per superficie unitaria, che si manifesta tra due strati di fluido che scorrono parallelamente uno sopra l’altro; u_x è la componente della velocità del fluido lungo la direzione del moto; μ è una grandezza fisica caratteristica del fluido chiamata coefficiente di viscosità.

Attraverso la legge di Newton, il fenomeno di trasporto della quantità di moto viene descritto come equilibrio tra la spinta dovuta al gradiente di pressione e la resistenza interna dei fluidi viscidi. Questo principio è alla base di molti processi ingegneristici e naturali, dalla dinamica dei liquidi nei tubi al moto dell’atmosfera e degli oceani.

Legge di Fourier e fenomeno di trasporto di calore

Un gradiente di temperatura dà luogo a un fenomeno di trasporto di calore nella direzione di calore esprimibile mediante la legge di Fourier:

q = – k ∂T/ ∂z   (2)

dove q rappresenta la quantità di calore espressa per unità di tempo e di superficie normale alla direzione dell’asse z; k è una costante fisica caratteristica del fluido chiamata conducibilità termica.

In una miscela non uniforme ha luogo un trasporto dei diversi componenti presenti nella miscela dalle zone di maggiore a quelle di minore concentrazione in accordo con la legge di Fick:

J_i = – D_i ∂C_i/ ∂z   (3)

dove J_i rappresenta il numero di moli che diffondono per unità di tempo e unità di superficie normale alla direzione dell’asse z. D_i è un coefficiente caratteristico dei componenti la miscela, detto coefficiente di diffusione. In una miscela fluida la diffusione coinvolge tutti i componenti in essa presenti: infatti, se si fa riferimento a una miscela binaria, l’esistenza di un gradiente di concentrazione di uno dei componenti implica l’esistenza di un gradiente dell’altro nella direzione opposta.

Nel caso di miscele gassose le tre equazioni (1), (2) e (3) si possono interpretare sulla base di un modello fisico unitario basato sull’ipotesi che le molecole si possano assimilare a sfere rigide. Si consideri a tal proposito una proprietà generica Y che vari da punto a punto nello spazio. Poiché le molecole gassose sono soggette a moti casuali, ne consegue che la proprietà in esame viene trasportata nella massa fluida per effetto di tali moti.

Infatti è legittimo assumere che una molecola subisca tra due collisioni uno spostamento di lunghezza media λ detta libero cammino medio e che durante tale spostamento trasporti il valore della proprietà che corrisponde al punto di origine dello spostamento stesso. Ne consegue che M(Y) ovvero l’ammontare della proprietà trasportata per unità di tempo e superficie fra i punti con coordinate (z_o + ½ λ) e (z_o –  ½ λ) è espresso da:

M(Y) ≈ nῡ [Y (z_o –  ½ λ) – Y(z_o +  ½ λ)] ≈ – nῡ λ (∂Y/∂z)  Equazione del trasporto  (4)

essendo n il numero di molecole per volume unitario e ῡ la loro velocità media. Il prodotto nῡ esprime infatti il flusso di molecole (molecole fluenti / tempo ∙ superficie). La resistenza interna di un gas è dovuta a uno spostamento di molecole da zone il cui moto di insieme convettivo con velocità u è più rapido a zone in cui tale moto è più lento. In tale spostamento le molecole si trasferiscono parte della loro quantità di moto mu associata al flusso di insieme. Nella (4) quindi a Y si deve sostituire mu mentre M(Y) si identifica con la resistenza interna:

τ ≈ – n ῡ m λ ∂u/∂z

In base al modello considerato il coefficiente di viscosità risulta proporzionale al prodotto n ῡ m λ.

La conduzione del calore è invece associata al trasporto dell’energia cinetica delle molecole, che a sua volta risulta espressa dal prodotto c_vmT essendo c il calore specifico. Al valore di M(Y) si deve sostituire q per cui si ottiene:

q ≈ – n ῡ m c_v λ ∂T/∂z

da cui risulta che la conducibilità termica è proporzionale al prodotto n ῡ m c_v.

Per quanto riguarda la diffusione e si può far riferimento a una miscela di due gas a P e T costanti e tali per cui n = n₁ + n₂ sia a sua volta costante. In questo caso la quantità trasportata si identifica rispettivamente con le frazioni (n₁/n) ed (n₂/n) delle due specie. M(Y) corrisponde invece alle molecole che diffondono per unità di tempo e di superficie. Quindi:

J₁ ≈ – nῡλ  ∂(n₁/n) / ∂z = – ῡλ ∂n₁/∂z

J₂ ≈ – ῡλ ∂n₂/∂z

Inoltre poiché n₁ + n₂  = costante risulta che:

(dn₁/dz) = – (dn₂/dz)

e pertanto il flusso totale risulta nullo.

Fenomeno di trasporto dei fluidi: conclusione

Nel contesto del fenomeno di trasporto, si osserva una relazione lineare tra la densità di flusso della grandezza trasportata e il gradiente di una variabile intensiva associata. Questo principio si applica a diversi ambiti della fisica e dell’ingegneria, come il trasporto della quantità di moto, del calore e della materia. Ogni fenomeno di trasporto coinvolge lo spostamento di una proprietà fisica in risposta a un gradiente, che può essere di pressione, temperatura o concentrazione, nel caso di una miscela.

Quando un fluido non è in condizioni di equilibrio, è probabile che vi sia un gradiente di una delle variabili intensive, come la pressione o la temperatura. Questo gradiente è il motore del fenomeno di trasporto: per esempio, un gradiente di pressione provoca un flusso di massa dal punto a pressione maggiore verso quello a pressione minore. Allo stesso modo, un gradiente di temperatura genera un flusso di calore dalle zone a temperatura più alta verso quelle a temperatura più bassa, mentre un gradiente di concentrazione determina un trasporto di materia da regioni ad alta concentrazione verso regioni a concentrazione inferiore.

Tali meccanismi di trasporto sono fondamentali per descrivere il comportamento dei sistemi non in equilibrio e sono alla base di molti processi naturali e industriali, dalla climatizzazione degli edifici alla progettazione di impianti chimici. Comprendere il fenomeno di trasporto in ciascuna di queste variabili è essenziale per prevedere e controllare il comportamento dei fluidi e dei materiali nelle diverse condizioni operative. L’analisi dei fenomeni di trasporto risulta quindi cruciale per la modellazione dei processi e lo sviluppo di soluzioni tecnologiche efficienti.

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