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Espansione adiabatica di un gas ideale-chimicamo

Espansione adiabatica di un gas ideale

  |   Chimica, Chimica Fisica, Termodinamica

In una espansione adiabatica un sistema non scambia calore con l’ambiente esterno. Il termine adiabatico deriva infatti dal greco α- (alfa privativo), διά- (attraverso) e βαινειν (passare) e che quindi significa che “non consente il passaggio attraverso” pertanto dQ = 0. Quando il gas si espande esso compie lavoro sull’ambiente, ma, non potendo scambiare calore con l’ambiente esterno, deve far uso della sua energia interna e pertanto l’energia interna diminuisce. Per un gas ideale l’energia interna è funzione solo della temperatura T e quindi in una espansione adiabatica la temperatura deve diminuire.

Dal Primo principio della termodinamica si ha:

dU = dQ – pdV

Poiché in una espansione adiabatica dQ = 0 si ha:

dU =  – pdV        (1)

L’energia interna U è funzione di T e di V ovvero U = U(T,V) pertanto:

dU = ( δU/δT)V dT + (δU/δV)T dV

nel caso di un’espansione adiabatica (δU/δV)T =0 e pertanto:

dU = ( δU/δT)V dT

per definizione il calore specifico a volume costante  CV = ( δU/δT)V  quindi:

dU = CV dT       (2)

uguagliando la (1) e la (2) si ha:

– pdV  = CV dT       (3)

Dall’equazione di stato di un gas ideale p = nRT/V. Sostituendo a p tale valore nella (3) si ha:

 – nRT/V dV = CV dT 

Riarrangiando tale equazione si ha:

dT / T = – nR dV/ CV V   (4)

Entalpia

Dalla definizione di entalpia:

dH = dQ + Vdp

in una espansione adiabatica ricordando che dQ = 0 si ha:

dH = Vdp   (5)

quindi: dH = ( δH/δT)p dT + (δH/δp)T dV

Essendo (δH/δp)T dV= 0

Si ha: dH = ( δH/δT)p dT

per definizione il calore specifico a pressione costante  Cp = ( δH/δT)p  quindi:

dH = Cp dT     (6)

Dall’equazione di stato dei gas ideali V = nRT/p. Sostituendo tale valore di V nella (5) si ha:

dH = nRT dp/p     (7)

uguagliando la (6) e la (7) si ha:

Cp dT   = nRT dp/p  

Riarrangiando tale equazione si ottiene:

dT/ T = nR dp/ Cp p    (8)

Uguagliando la (4) e la (8) si ha:

– nR dV/ CV V   =  nR dp/ Cp

Ovvero semplificando nR si ha:

– dV/ CV V   = dp/ Cp

Che può essere scritta come:

– Cp/ CV dV/V = dp/p

Posto Cp/ CV = γ

Si ha – γ  dV/V = dp/p

Considerando γ come una costante e integrando si ottiene:

– γ  ln V2/V1 = ln p2/p1

Ovvero:

γ  ln V1/V2 = ln p2/p1

che può essere scritta come:

 ln (V1 γ/V2γ) = ln p2/p1

Eliminando i logaritmi:

V1 γ/V2γ = p2/p1

Che può essere scritta come:

p1V1γ = p2V2γ

che costituisce l’equazione dell’espansione adiabatica di un gas ideale.

 

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