Espansione adiabatica di un gas ideale

In una espansione adiabatica un sistema non scambia calore con l’ambiente esterno. Il termine adiabatico deriva infatti dal greco α- (alfa privativo), διά- (attraverso) e βαινειν (passare) e che quindi significa che “non consente il passaggio attraverso” pertanto dQ = 0. Quando il gas si espande esso compie lavoro sull’ambiente, ma, non potendo scambiare calore con l’ambiente esterno, deve far uso della sua energia interna e pertanto l’energia interna diminuisce. Per un gas ideale l’energia interna è funzione solo della temperatura T e quindi in una espansione adiabatica la temperatura deve diminuire.

Dal Primo principio della termodinamica si ha:

dU = dQ – pdV

Poiché in una espansione adiabatica dQ = 0 si ha:

dU =  – pdV        (1)

L’energia interna U è funzione di T e di V ovvero U = U(T,V) pertanto:

dU = ( δU/δT)_V dT + (δU/δV)_T dV

nel caso di un’espansione adiabatica (δU/δV)_T =0 e pertanto:

dU = ( δU/δT)_V dT

per definizione il calore specifico a volume costante  C_V = ( δU/δT)_V  quindi:

dU = C_V dT       (2)

uguagliando la (1) e la (2) si ha:

– pdV  = C_V dT       (3)

Dall’equazione di stato di un gas ideale p = nRT/V. Sostituendo a p tale valore nella (3) si ha:

 – nRT/V dV = C_V dT 

Riarrangiando tale equazione si ha:

dT / T = – nR dV/ C_V V   (4)

Entalpia

Dalla definizione di entalpia:

dH = dQ + Vdp

in una espansione adiabatica ricordando che dQ = 0 si ha:

dH = Vdp   (5)

quindi: dH = ( δH/δT)_p dT + (δH/δp)_T dV

Essendo (δH/δp)_T dV= 0

Si ha: dH = ( δH/δT)_p dT

per definizione il calore specifico a pressione costante  C_p = ( δH/δT)_p  quindi:

dH = C_p dT     (6)

Dall’equazione di stato dei gas ideali V = nRT/p. Sostituendo tale valore di V nella (5) si ha:

dH = nRT dp/p     (7)

uguagliando la (6) e la (7) si ha:

C_p dT   = nRT dp/p  

Riarrangiando tale equazione si ottiene:

dT/ T = nR dp/ C_p p    (8)

Uguagliando la (4) e la (8) si ha:

– nR dV/ C_V V   =  nR dp/ C_p p 

Ovvero semplificando nR si ha:

– dV/ C_V V   = dp/ C_p p 

Che può essere scritta come:

– C_p/ C_V dV/V = dp/p

Posto C_p/ C_V = γ

Si ha – γ  dV/V = dp/p

Considerando γ come una costante e integrando si ottiene:

– γ  ln V₂/V₁ = ln p₂/p₁

Ovvero:

γ  ln V₁/V₂ = ln p₂/p₁

che può essere scritta come:

 ln (V₁ ^γ/V₂^γ) = ln p₂/p₁

Eliminando i logaritmi:

V₁ ^γ/V₂^γ = p₂/p₁

Che può essere scritta come:

p₁V₁^γ = p₂V₂^γ

che costituisce l’equazione dell’espansione adiabatica di un gas ideale.