Esercizi di termodinamica

Il primo principio della termodinamica, per una generica trasformazione infinitesima effettuata da un sistema, si può scrivere :

dU = dQ – dW

Se il lavoro in gioco è solo di tipo meccanico si ha :

dU = dQ – pdV

tale equazione può essere utilizzata per le trasformazioni di un gas perfetto.

Esercizi

1)      Un recipiente rigido avente volume 28 L contenente aria alla pressione di 140 kPa e alla temperatura di 20°C viene riscaldato fin quando la pressione raggiunge i 345 kPa. Calcolare il calore fornito considerando che il peso molecolare dell’aria sia di 29 u e che Cv sia di 0.718 kJ/kg K

Secondo il primo principio della termodinamica:

Q + W = ΔU

Per un gas ideale ΔU è funzione solo della temperatura e quindi ΔU = m Cv(T2– T1) ; il processo avviene a volume costante si ha che il lavoro fatto è pari a zero pertanto:

Q = ΔU

Per ottenere Q è quindi necessario calcolare m, la massa dell’aria contenuta nel recipiente.

Dall’equazione di stato dei gas ideali n= pV/RT

Convertiamo la pressione iniziale in atm:

p = 140000 Pa/ 101325 Pa/atm =  1.38 atm

La temperatura T è pari a 20 + 273 = 293 K

Da cui n = 1.38 atm ∙ 28 L/ 0.08206 ∙ 293 = 1.61 moli

La massa dell’aria contenuta nel recipiente è 1.61 mol ∙ 29 g/mol= 46.7 g = 0.0467 Kg

Calcoliamo la temperatura finale dalla legge di Gay-Lussac:

p1/T1 = p2/T2

sostituendo i dati noti:

140/293 =345/ T2

Da cui T2 = 722 K

Possiamo quindi calcolare Q:

Q = ΔU = m Cv(T2– T1) = 0.0467 kg ∙ 0.718 kJ/kg K ( 722- 293 ) = 14.4 kJ

2)      Un cilindro munito di pistone libero di muoversi contiene 0.10 Kg di aria alla pressione di 120 kPa. Una resistenza elettrica contenuta nel cilindro viene collegata a una batteria da 12 V. Quando una corrente di 1.5 A viene fatta passare attraverso la resistenza per 90 s il pistone sale spazzando un volume di 0.010 m3. Assumendo che pistone e cilindro siano isolati e che l’aria abbia un comportamento ideale calcolare l’aumento di temperatura sapendo che Cv = 700 J/kg K

L’energia erogata dalla batteria è data da:

E = V I t = 12 x 1.5 x 90 = 1620 J

A pressione costante il lavoro è dato da:

W = – ⨜p dV = – p (V2 – V1) = – 120000 Pa  ∙ 0.01 = 1200 J

Da cui ΔU = 1620 – 1200 = 420 J

Poiché ΔU = m Cv ΔT si ha:

ΔT = ΔU / m Cv  = 420 J / 0.10 Kg ∙ 700 J/kg K = 6 K

3)     Un recipiente di 0.1 m3 contiene aria a 14 MPa alla temperatura di 50°C viene collegato, tramite una valvola a un recipiente in cui è stato fatto il vuoto di volume 15 m3. Calcolare la pressione finale dopo che la valvola è stata aperta e il gas si è espanso considerando il sistema isolato

In questo processo Q = 0 e W = 0 e pertanto ΔU = 0

Quindi poiché ΔU = mCvΔT = 0 si deve avere che ΔT = 0

A temperatura costante vale la legge di Boyle e quindi:

p1V1 = p2V2

tenendo conto che V2 = 0.1 + 15 = 15.1 m3 si ha:

14 x 0.1 = p2 x 15.1

da cui p2 = 0.0927 MPa

 

4)      In una compressione adiabatica 220 kg di CO2 a 27°C e alla pressione di 1 atm vengono portati a 1/5 del volume iniziale. Il sistema viene poi raffreddato a volume costante e portato alla sua temperatura iniziale. Calcolare Q, ΔU e W per ogni fase e per l’intero processo sapendo che γ = 1.3

Per un gas ideale in un processo adiabatico si ha:

pV γ = costante pertanto possiamo scrivere:

p1V1 γ = p2V2 γ

da cui: p1/p2 = (V2/V1)γ

ovvero: (p1/p2)1/γ = V2/V1

Inoltre per un gas ideale p = nRT/V

Sostituendo a p il suo valore nell’espressione pV γ  si ha:

nRT Vγ/V = costante

ovvero:

nRT Vγ-1 = costante

quindi:

nRT1 V1 γ-1 = nRT2 V2 γ-1

semplificando nR si ha:

T1 V1 γ-1 = T2 V2 γ-1

Ovvero:  T2 /T1 = (V1/V2)γ-1

L’espressione del lavoro in un processo adiabatico è:
W = – n Cv ΔT = – Cv (p2V2 – p1V1)/R = (p2V2 – p1V1)/γ-1

Per il primo principio della termodinamica:

ΔU = Q + W

e, essendo la prima fase del processo adiabatica, Q = 0 si ha:

ΔU = mCv (T2 – T1)

Per risolvere il problema calcoliamo le moli di CO2:

moli di CO2 = 220000 g/ 44 g/mol=5000 = 5 kmol

V1 = nRT/p = 5000 ∙ 0.08206 ∙ 300 K/1 atm = 1.23 ∙ 105 dm3 = 123 m3

Poiché V2 è 1/5 di V1 si ha:
V2 = 123/5=24.6 m3

Dalla relazione T1V1γ-1 = T2V2γ-1

Si ha T2 = T1(V1/V2)γ-1

T2 = 300 K ( 123/24.6)1.3-1 = 300 (5)0.3 = 486.2 K

E dalla relazione p1/p2 = (V2/V1)γ si ha: p2= p1/ (V2/V1)γ

p2 = 1 atm / (24.6/ 123)1.3 = 8.10 atm = 8.21 x 105  Pa

W  = (p2V2 – p1V1)/γ-1 = 8.21 ∙ 105  x 24.6 – 1.01 ∙ 10-5 x 123/ 0.3 = 2.60 ∙ 107 J

Poiché nella seconda fase del processo si ritorna alla situazione iniziale si ha ΔU = – 2.60 x 107 J e il lavoro è pari è zero

In definitiva:

 

Q

W

ΔU

Prima fase 0 2.60 x 107 J 2.60 x 107 J
Seconda fase – 2.60 x 107 J 0 – 2.60 x 107 J
Totale – 2.60 x 107 J ( calore rimosso dal sistema) 2.60 x 107 J (lavoro fatto sul sistema) 0

 

 

 

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Author: Chimicamo

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