Entropia di mescolamento di gas

L’ entropia di mescolamento è l’aumento di entropia quando diversi sistemi inizialmente separati di diversa composizione sono miscelati.

Si consideri un sistema di due gas ideali A e B contenuti in un recipiente diviso da una separazione ad una certa pressione e temperatura. Siano  n_A e n_B il numero di moli dei due gas e V_A e V_B il volume del recipiente in cui essi sono contenuti rispettivamente . Se la separazione è rimossa i due gas sono liberi di diffondere e formano un sistema omogeneo

Variazione di entropia in un processo isotermico reversibile

La variazione di entropia in un processo isotermico reversibile è dato da:

ΔS = nR ln V₂/V₁

Nel caso del gas A il volume iniziale è V_A e il volume finale è V_A +V_B e nel caso del gas B il volume iniziale è V_B e il volume finale è V_A +V_B. Possiamo quindi scrivere:

ΔS_A = n_A R ln V_A + V_B/V_A

ΔS_B = n_B R ln V_A + V_B/V_B

Variazione di entropia dovuta al mescolamento

Per ottenere la variazione di entropia dovuta al mescolamento dei due gas si sommano le rispettive variazioni di entropia:

ΔS_mix = ΔS_A + ΔS_B = n_A R ln V_A + V_B/V_A + n_B R ln V_A + V_B/V_B

Dall’equazione di stato dei gas ideali sappiamo che pV = nRT. Si ha che il volume è direttamente proporzionale  al numero di moli. Pertanto, per la legge di Avogadro, sostituiamo ai volumi il numero di moli:

ΔS_mix = n_A R ln n_A + n_B/n_A + n_B R ln n_A + n_B/n_B

Essendo la frazione molare X_A = n_A/ n_A + n_B  e X_B = n_B/ n_A + n_B si può notare che nella precedente equazione il termine n_A + n_B/n_A  è l’inverso della frazione molare X_A e il termine  n_A + n_B/n_B  è l’inverso della frazione molare X_B  . Poiché ln x^-1 = – log x si ha:

ΔS_mix = – n_A R ln n_A/ n_A + n_B – n_B R ln n_B/ n_A + n_B

Da cui mettendo – R in evidenza si ha:

ΔS_mix = – R( n_A ln X_A + n_B ln X_B)

Tale equazione rappresenta la variazione di entropia di mescolamento.

Ponendo n = n_A + n_B la stessa può essere scritta come:

ΔS_mix = – nR( x_A ln X_A  + x_B ln X_B)

Poiché la frazione molare è un numero inferiore a 1 e poiché il logaritmo di un numero inferiore a uno è negativo il termine tra parentesi risulta negativo e pertanto l’entropia di mescolamento risulta positiva.